14.2. вариационный ряд

14.2. вариационный ряд

Обычно объекты выборки характеризуются некоторыми числовыми значениями. При этом в выборке могут появляться и одинаковые значения. Например, xL может появиться п1 раз, хг — пг раз, xk—nk раз. Тогда

*

і-1

где п — объем выборки.

Наблюдаемые значения х, (і—і, 2, к) называются вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, — вариационным рядом.

Числа наблюдений п, называются частотами (частостями), а их отношения к объему выборки — относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется пере-! чень вариант и соответствующих им частот или относительных j частот

14.3. Полигон и гистограмма

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (xh tii), где Xj — варианты, щ — соответствующие частоты, или точки (xit w), где и», — относительные частоты.

В случае непрерывности значений генеральной совокупности строят не полигон, а гистограмму частот. Для этого весь интервал, в котором заключены наблюдаемые значения, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h. Пусть п, — сумма частот вариант, попавших в г-й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую функцию, состоящую из прямоугольников, в основании которых лежит интервал А, а высота равна njh (рис. 14.1).

Рис. 14.1

14.4. Эмпирическая функция распределения

Пусть пх — число наблюдений, при которых появились значения величин, меньшие х, п — общее число наблюдений. Относительная частота события Х<х, где X— случайное значение величины, равна njn.

Эмпирической функцией распределения называется функция

«і

л

О Пример. Дан вариационный ряд: 2, 3, 4, 5, 8, 10. Составить эмпирическую функцию распределения.

Так как при 2<х^3 случайная величина встретилась один раз (*! =2), то F* (х) = 1/6 (2 < дг< 3). При 3<случайная величина встретилась два раза (->с1 = 2, х2 = 3). Поэтому /"*(*)=2/6 =1/3 (3<Ж4). Далее имеем

F* (х) = 3/6 =1/2, 4<х^5,

(л:)=4/6 = 2/3, 5<х<8,

F*(x) = 5/6, 8<*<10,

F*(x)=l, х>10

(рис. 14.2).

Г(х) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2

! і

О 234 5 8 Ю

Рис. 14.2

14.5. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Выборочной средней хш называется среднее арифметическое значений выборочной совокупности.

Если все значения xt выборочной совокупности различны, то

л

Если значения выборочной совокупности имеют частоты nt,

nz пк, то

*

1-і

Выборочной дисперсией а называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборочной совокупности от выборочной средней.

Если все значения х{ различны, то

л

(Xi-x.fln.

i-1

Если значения xt выборочной совокупности имеют частоты л„ то

* _

4,= £ л, (х,-*„)/"■ •-і

Выборочным средним квадраттеским отклонением называется выражение а^^[а.

14.6. Начальные н центральные эмпирические моменты

Начальным эмпирическим моментом k-ro порядка называется среднее значение к-х степеней выборочной совокупности

і

(-1

. Начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной Средней а,.

Центральным эмпирическим моментом к-го порядка называется среднее значение к~х степеней разностей jc(—xt:

" -к

іI

Центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии а.

14.7. Оценки параметров распределения

В ряде задач статистики вид закона распределения генеральной совокупности считается известным. Требуется по данным выборки ху, х2, .... хя оценить значения параметров данного закона распределения.

Найти статистическую оценку в* параметра б — это значит найти некоторую функцию от наблюдаемых значений выборки.

Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру:

М[в*] = в.

Смещенной называется статистическая оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой, а выборочная дисперсия — смещенной.

Эффективной называется статистическая оценка, которая имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки (л->оо) стремится по вероятности к оцениваемому параметру:

Р(в* =в)=1.

Л-*со

14.8. Точечная в интервальная оценки

Точечной называется оденка, определяемая одним числом.

Выборочная средняя и выборочная дисперсия являются точечными оценками.

При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра. В этом случае обычно пользуются интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.

Вычисленная по данным выборки оценка 9* является случайной величиной. Случайной величиной является и разность в — в* = ос. Таким образом, при определенном значении в* величина в будет отклоняться от оценки на случайную величину а. Зная распределение величины в*, а соответственно и а, можно вычислить верятность попадания разности В—в* в заданный интервал ] — 5, 8[, где 8 — некоторое положительное число. Обратно, задавая вероятность попадания этой разности в интервал, можно определить величину интервала. Указанная вероятность называется надежностью или доверительной вероятностью оценки параметра в.

Доверительным интервалом называется интервал ]в* — 8, 6* + 8[, который покрывает неизвестный параметр в с заданной надежностью у.