16.3. уравнения колмогорова для вероятностей состояний
16.3. уравнения колмогорова для вероятностей состояний
Системы, представляемые в виде непрерывной цепи Маркова, обычно исследуют с помощью уравнений Колмогорова для вероятностей состояний.
Плотностью вероятности перехода А,, из состояния Sj в состояние Sj называется предел отношения вероятности этого перехода за время At к длине промежутка At, когда последний стремится к нулю:
'«(АО
Ay=lim——, а,-о Л'
где Pij(At) — вероятность того, что система, находившаяся в момент t в состоянии Sh за время At перейдет в состояние 5,.
Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотности вероятностей не зависят от времени t, в противном случае она называется неоднородной.
Для однородных марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы гибели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид
^Г=-АоіРо(0+А1вЛ(0,
at
—=Л-мЛ-|(0-(Аи-1 + Ли+1)ВД+ (16.1)
at
+ A,+1,,P,+1(0 (i=l,2, л),
где Л (0 — вероятность состояния S,, когда в системе находится і требований в момент времени /, л+1 — общее число возможных состояний 50, S^ 5».
При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова (16.1) принимают вид
Л_1,1>1_1-(і.і+1 + Іі,,+1)Л+Яі+иЛ+і = 0 (16.2) (/=1,2, ...,-и).
В большинстве практических задач оказывается допустимой гипотеза о стационарном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова вида (16.2).
Математические модели систем массового обслуживания, приводимые ниже, соответствуют уравнениям Колмогорова для стационарного режима работы системы (16.2) при условиях простейшего потока входящих требований и экспоненциального закона распределения времени обслуживания.
16.4. Системы массового обслуживания с отказами
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами при принятых допущениях (см. п. 16.3) имеет
вид, изображенный на рис.
16.1. Здесь X интенсивность т£^^-"М171;:ГИ
входящего потока требова- " I**—1 г*" ;*1__р; і
ний, ц — производительность Р V* V* <+фтР
одного канала (прибора) об- Рвс Jfi j
сл уживання, S0, Slt ... ее. .
... , Sm — состояния системы
(индекс указывает число требований в системе), т — общее число каналов.
Вероятности состояний определяются по формулам
і
Р> = -Р0 (i = l,2,„.,m),
где р = -, а вероятность Р0 находится из выражения
4ІГ
О Пример. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.
Имеем: т=Ъ,Х = 0,25 (1 /ч), = 3 (ч). Находим:
р = А=ЯГ0бсп=3.0,25 = 0,75,
m ' pm 0.753 1
POT,=^i>0=^.-= 0,033,
ml 3! 2,1
л-1 я-1 V11>!
1 Ґ 0 75і"
= — 0,75 + 0,752 + — «0,72.
2-]L 2 J
Таким образом, /^ = 0,033; т3 = 0,72 (ЭВМ).
16.5. Системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди
Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания, имеющей т каналов, с ограниченной очередью, число мест в которой ограничено величиной /, при принятых допущениях (см. п. 16.3) имеет вид, изI—і д і—ія лі—|Л я> 1 ображенный на рис. 16.2.
S0 L *]sf р.ї.'^рд, pr.V.:qs№(| Вероятности состояний Sv,
— ji —*2/( тр. —Vm/< s2, .... Sm находят no
формуле Ряс. 16.2 і
P,=rP0 (i=,2,...,m). 'I
Вероятности состояний Sm+i, Sm+2, —, Sm+i определяют с помощью формул
р'
Р,~ Р0 (i=m + l, т+1).
т'~тт
Вероятность Р0 подсчитывают по формуле
т
В большинстве практических задач отношение < 1. Формула
для Р0 используется в виде
 |
Имеем: т = Ъ, /=3, к = 2 (1/мин), 7^=1 (мин), /*= 1/7^=1 (1/мин). Далее находим: p = k(p.=2j — 2, pjm=2/3,
[, „ г1 2Э 2* 1-е
1 + 24 1 h——21 3! 3 3! 1-
«0,122,
Таким образом.
:, Р0Т1 = 0,048, Л/От=0,35 (машины). •
|_,tjil т(т-р) |_ 1! 2! 2!(2-1,6)_
1 = 0Д1.
Щ-РЧ, ? = 1=>т3 = 1,6,
Р nm + 1 1 Oil 1 й* — ^ож
т.ж! (1-р/т)2 2.2.(1-0,8)* А
Итак, т3 = 1,6 (причалов), Г„=3,5 (сут).
16.7. Системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания
В системах массового обслуживания с ограниченным
временем ожидания время ожидания в очереди каждого
требования ограничено случайной величиной /ож, среднее
значение которой я я я я я я
Величина, обратная [^^fl7fc
среднему времени ожида»—~ \% ^Ч^^^Ш2,^
ния, означает среднее количество требований, поРис. 16.4
кидающих очередь в единицу времени, вызванное появлением в очереди одного требования: v= 1//ож.
При наличии в очереди к требований интенсивность потока покидающих очередь требований составляет kv. Граф состояний такой системы изображен на рис. 16.4.
Формулы для определения вероятностей состояний такой системы имеют вид
Я=4'Л> (i = l, 2, ...,«),
Р<= (i = m + l, .... т+к, ...),
П (mtn-jv) J-i
к
где Y[ (mp+jv) — произведение сомножителей mft+jv. }Вероятность Р0 определяют по формуле
[
" о' о" " J* I'1
П (mu+jv) i-i
В практических задачах сумму бесконечного ряда вычислить достаточно просто, так как члены ряда быстро убывают с увеличением номера.
О Пример. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей Д = 6 (посетителей в час). Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом /1 = 3 (посетителей в час). Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, v = l (посетитель в час). Найти абсолютную пропускную способность пункта.
Имеем: т=3, Л=б, /i = 3, v=1. Находим: р = Х\х — 6/3 = 2,
2 22 23 23 / 6 б1 VI-1
+ -+-+ + =0,13.
1! 2! 3! 3! ^3.3+1 (ЗЭ + 1)(3-3 + 2 iyj
Вероятность занятости всех приборов равна Ры, = 1 — Р0 = 0,87. Тогда абсолютная пропускная способность может быть получена как произведение: A=mPw — 3 ■ 0,87 = 2,61. Таким образом, Л=2,61 (посетителя в час). \%
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы