Раздел xvii рыночное равновесие 17.1. технологические множества
Раздел xvii рыночное равновесие 17.1. технологические множества
Предположим, что э некоторой экономике выделено л видов товаров, с помощью которых можно описать каждое конкретное производство. Это означает, что в множество товаров входят все виды продукции, выпускаемой каждым производителем, а также все то, что затрачивается им в процессе производства.
Производитель П может выпускать продукцию, используя различные производственные процессы. Каждый конкретный производственный процесс, технологически возможный для производителя П , задается л-мерным вектором
где у-j (/=1. 2, л) — количество у'-го товара, выпускаемого (расходуемого) 'этим производителем в единицу времени. При этом число уу считается положительным, если >й товар выпускается, и отрицательным, если этот товар расходуется в процессе производства.
Множество У(П) всех производственных процессов, технологически возможных для производителя П, называется технологическим множеством этого производителя.
Технологическое множество У(П) является подмножеством л-мерного пространства R", содержащим нулевой вектор (нуле-вой вектор соответствует бездействию производителя).
При задании вектора цен на товары р = (р1г pj, ., р„) прибыль я (у) производителя П зависит только от выбранного им производственного процесса y=(ylt у,, у„)є У(П) и определяется равенством
я
)~1
При этих условиях оптимальным для производителя П является тот производственный процесс уеУ(П), при котором достигается наибольшее значение функции п(у).
ЭТО
Если экономика включает т производителей Пь .... Пт,
технологические множества которых соответственно равны У(Пі), Y(Ylk), Г(ПЯ), то множество
T={^fdykykeY<Xlk),k=l,2t...,m}
называется совокупным технологическим множеством. Элементы совокупного технологического множества называют совокупными производственными процессами.
Совокупное технологическое множество определяет возможности всего производства в целом.
В большинстве известных моделей относительно совокупного технологического множества делаются следующие предположения.
1°. Совокупное технологическое множество Т является замкнутым подмножеством «-мерного пространства R".
Таким образом, если некоторый л-мерный вектор можно с любой степенью точности приблизить совокупным производственным процессом, то и сам этот вектор является совокупным производственным процессом.
2°._ Совокупное технологическое множеств Т выпукло, т. е. если zt, z2er, а>0, ,83=0, a + fi = , то az1+0z1eT.
3°. rp|R + = {в}, т. е. в совокупном технологическом множестве Г единственным вектором с неотрицательными координатами является нулевой вектор.
Иными словами, не существует совокупного производственного процесса, при котором что-то выпускается, но ничего не затрачивается.
4°. ТГ](-Т) = {в}, т. е. если 0 zеГ, то -гфТ(необратимость совокупных производственных процессов).
17.2. Поле предпочтений потребителя
Если в экономике выделено л видов товаров, то стратегией потребителя Q называется л-мерный вектор:
JC=(jCj, Хр хл),
где Xj (j—l, 2, л) — количество j-го товара, приобретенного (проданного) этим потребителем за некоторый единичный отрезок времени. Число Xj считается положительным, если у'-й товар приобретается, и отрицательным, если этот товар продается.
Относительно множества X(Q) всевозможных стратегий потребителя Q обычно делаются следующие предположения.
1°. Множество X(Q) является замкнутым подмножеством л-мерного пространства R".
Таким образом, если некоторый л-мериый вектор можно с любой степенью точности приблизить стратегией потребителя Q, то и сам этот вектор является стратегией потребителя Q.
2°. Множество X(Q) выпукло, т. е., если хи х2 — стратегии потребителя Q, а>0, /?>0 и a+/f=i, то и вектор axt + fix2 является стратегией этого потребителя.
3°. Множество X(Q) ограничено снизу, т. е. существует число Ь такое, что для всех стратегий х=(хи xJ} х„) справедливы неравенства
x}>b,j=l, 2,п.
Естественно предположить, что потребитель Q, исходя из
потребительских свойств товаров,_всегда может определить_либо
что_одна из двух его стратегий х и у лучше другой (х>у или
у>х), либр что они для него безразличны При этом
стратегия х не хуже стратегии у(х^у), если х>у или х~у.
Таким образом, можно считать, что на множестве стратегий потребителя Q задано отношение предпочтения, удовлетворяющее следующим условиям^
а) для любой стратегии xeX(Q) Зс>х;
б) из условий х^у, y^z, где х, у, zeX(Q), всегда следует, что
x^z; _ _
в) для любых стратегий х, yeX(Q) либо х^у, либо у>х.
Если на множестве стратегий X(Q) потребителя Q задано
некоторое отношение предпочтения то говорят, что потребитель Q имеет поле предпочтений (X(Q),^).
Отношение предпочтения > на множестве X(Q) называется непрерывным, если множество {(х, у)х>у} является открытым подмножеством прямого произведения X(Q) х X(Q).
Иными словами, непрерывность предпочтения означает, что если для потребителя Q стратегия х0 лучше стратегии у0, а стратегии хи у достаточно близки соответственно к х^ и у0, то для этого потребителя и стратегия х лучше стратегии у.
Отношение предпочтения > на выпуклом множестве стратегий X(Q) называется сильно выпуклым, если изусловий х>у, х, yeX(Q), ое>0, р>0, а+Р—1 следует, что ах+ру>у.
Предположим, что потребитель Q имеет поле предпочтений, а V — некоторое подмножество множества стратегий X(Q).
Стратегия хвУ является наиболее предпочтительной стратегией в множестве V, если х^у для всех стратегий у в V.
Наиболее предпочтительная стратегия в' множестве всех стратегий X(Q) потребителя Q называется точкой насыщения этого потребителя.
Если при заданном векторе цен на товары p=ipL, —,Pj, ...,р») известен бюджет / потребителя Q, то поведение этого потребителя на рынке определяется наиболее предпочтительной стратегией в множестве стратегий х=(хи хь .... xn)eX(Q), удовлетворяющих бюджетному ограничению
я
17.3. Модель дезагрегированной экономики и конкурентное равновесие
Предположим, что в экономике, включающей / потребителей би -і бл ■•■> Qi и т производителей Пх, Пь Пя, выделено п видов товаров.
При этом:
I) каждый потребитель Qt (i—l, 2, I) имеет поле предпочтений (X(Qt),^i) и обладает некоторой первоначальной собственностью
a,= (flj,, ау, aj,
где щ — количество j-то товара, находящегося в распоряжении потребителя
каждый производитель Пк (к=1, 2, т) располагает технологическим множеством Y(n.k), содержащим нулевой вектор;
прибыль каждого производителя П* распределяется между всеми потребителями, доля участия потребителя Qi в прибыли производителя П* задана и равна аЛ 2, /, к = , 2,т).
Набор из 1+т+1 векторов
[хх, х„ Хі,у{,ук, ...,ут,р ),
где
х] = (ха, х'ф xl,)eX(Qd, i=l, 2, /, УІ^Ои. -, Уф ...,y'kJeY(nk), *=І, 2, т,
а р' = (р'и /»я) — вектор цен на товары, называется
конкурентным равновесием, если выполняются следующие условия:
1) каждый производитель П* (А= 1, 2, т), используя производственный процесс у I, при векторе цен р' получает максимальную прибыль кк (р *), т. е.
я я
я* (Р *) = Z У *Р j шах J] yjy і?;, J-l >-l
где максимум берется по всем yk=(yki> уіф yia,)eY0Jk);
стратегия х*(і=1, 2, I) является наболее предпочтительной среди всех стратегий х,=(х(1, хф хія)єХ(&), удовлетворяющих бюджетному ограничению, т. е.
я н т
Е р ) хи < Z р) аи + Еа*** *);
У-1 >1 *-1
соблюдается баланс совокупного предложения и спроса по всем товарам, т. е.
/ I т
(-і і-( t-i
Конкурентное равновесие в приведенной модели дезагрегированной экономики всегда существует при следующих дополнительных ограничениях (теорема Эрроу и Дебре):
а) совокупное технологическое множество
г={ t ЯіЯє У(ПД *= 1, 2, mj
выпукло и замкнуто в пространстве R", причем ГПЯ. "+ = {*}. Tf](-T)={9};
б) множество стратегий X(Qj) (i=l, 2, /) потребителя
Qi является выпуклым, замкнутым и ограниченным снизу в пространстве R";
в) отношение предпочтения ('=1. 2, I) непрерывно
и сильно выпукло на множестве X(Qi) и ни для одного потребителя нет точки насыщения;
г) первоначальная собственность а,=(а(1, аф аш) (і— 1, 2,
О потребителя Qj положительна, т. е. существует стратегия
Х)=(хц, хф x„,)eX(QU такая, что
a,j>x,j,j=if 2, л.
Набор векторов (jclt xh х,, ylt ук, ут), где
х,=(хй, хи, Xb)eX(Q,) (/=1, 2,
'Ук = (Уи, W Уь.)е У СП*) (*= 1, 2, т),
называется совместным распределением производства и потребления, если
11т
Е *у< £ <*ij+ Е Укл j= 1, 2, п.
(-1 4-І *-1
Распределение xj, у I, ... , ук у'„) называется
оптимальным по Ларето, ест не существует распределения (xlt xh xh ylt yk, ym), удовлетворяющего условиям
x,^ Jc*, i= 1, 2, /, а для некоторого і
Основное свойство конкурентного равновесия. Если набор векторов
{х, х', ...>х'„уК...,Ук Ут,Р')
является конкурентным равновесием в модели дезагрегированной экономики, удовлетворяющей условиям а)_— г), то соответствующее распределение (х х'„ х',, у, .... у, у'т)
оптимально по Парето.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы