1.26. комплексные числа

1.26. комплексные числа

Мнимую единицу і определяют как число, квадрат которого равен (—1). Таким образом, i2 = — 1.

Всякое комплексное число представляют в виде z=a+bi (алгебраическая форма записи комплексного числа). Здесь а и b — действительные числа. При этом а называют действительной частью комплексного числа z (a — Rsz), b — его мнимой частью (Ь — ш z).

Если а ~0, то z = bi называют чисто мнимым числом.

Если Ь = 0, то z — a, т. е. комплексное число z равно действительному числу а. Множество действительных чисел, таким образом, есть подмножество множества комплексных чисел.

Два комплексных числа z-i=a + b1i и z2=a2+&2i считают равными (zl=z2), если и только если a, = a2 и bt — b2. В противном случае Zi фгг. Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Всякое комплексное число z=a + bi удобно изображать точкой

(а, Ь) или соответствующим радиусом-вектором на комплексной

плоскости (рис. 1.23). Оси Ох и Оу

прямоугольной декартовой системы

координат называют при этом соответственно действительной и мнимой g

осью. Величину р — длину радиуса-ве*

ктора точки z — называют модулем

комплексного числа z и обозначают z. \%

Угол ц> (в радианах) называют аргументом комплексного числа z и обо- & " а Т

значают <p = argz. Имеют место соот- Действительная ось

ношения a = pcos<p, b = p\%va.<p. Тогда

z—p (cos <р + і sin q>) — тригонометри- Рис. 1.23

ческая форма записи комплексного числа; с другой стороны, р = <<Ja2 + b2, tg <р = при этом 0<р < + оо,

а

а — со < <р < + оо. Более того, для данного комплексного числа z аргумент <р имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на величину Ink (к — целое число). Главное значение аргумента заключено в промежутке —я<<р^я.

Для числа z = 0 (a=b=0) аргумент не определяется, a ]z| = 0.

Имеет место показательная форма записи комплексного числа а+Ы=ре". При этом e'"=cos<j0 + isin<p (формула Эйлера).

2-421

33

Два комплексных числа z и z называют взаимно сопряженными, если они имеют равные действительные части и отличающиеся лишь знаком мнимые _части (Rez = Rez, Imz= — Imz).

Очевидно, что |z|=Jz|, a argz= — argz, так что на комплексной плоскости точки z и z симметричны относительно действительной оси Ох.

При этом

z = а+Ы= р (cos <р + і sin <р) = ре**;

z = а—W=р (cos (р — і sin <f>) = ре-*'.

Пусть даны два комплексных числа Zi = fli + 6i«=pi (cos q>j 4-+ isin<jp|) и г1 = аі+Ь1і=рг (coscpj + i'sin <рг) тогда

1°. z,±za = (e,±flj)+(*,+6a)-i;

2°. Z| г2 = (а,е(2-6|б2) + (в1А2 + азЬ|) i" = pip2 [cos {<pi + <Pi) + +/Sin (</>! +(jJz)].

3°"= — = -[COS (<Pi-<p2) +

22 °2 + *i P2

+ /'sin (<?!^2>] (*i t^O).

4°. zxzy-a}+b = p\ zl + z2 = zy + z1; z,' z2 = zxz2 z}jz2 = ч

5°. z1= pi (cos п(р! +і sin n<pi), где n — целое число (формула Муавра).

В частности,/= — /,/=1, і =/ .

,о » Г П Г~ ( <Р1+2л* . . fl>i + 2itA

6 . -JZi = -Jpi cos 1-/ sin — J, где n — натура n n }

льное число, a k = 0, 1,2, n — 1.