2.6. длина вектора. угол между л-мерными векторами

2.6. длина вектора. угол между л-мерными векторами

О Пример. Найти длину вектора jc=( — 12, 3, —4).

Имеем х = Jxx = У(-12)2"+3^"+ (-4)2 = 13. ф Каждый л-мерный вектор имеет длину, причем нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Скалярное произведение хх называют скалярным квадратом вектора х и обозначают х1. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, т. е. |jc|1=jc .

Если х и у — произвольные л-мерные векторы, то их длины х и у] связаны со скалярным произведением ху соотношением

Ы<х-у,

которое называется неравенством Коши—Буняковского. Это неравенство в координатной форме имеет вид

|а16, + а2£2 + ... + а,Д,|< ^y/a2 + a + ... + al ^*ї + *ї + -.+*ї,

где х = (а„ аъ ая), у = {Ьх, Ьи Ья).

Для каждой пары л-мерных векторов х, у справедливо соотношение

|х+Ж|х[ + М,

которое называется неравенством треугольника.

Углом <р между ненулевыми л-мерными векторами хну называют угол (от 0 до л), косинус которого равен

ху

откуда ху = х у cos#, т. е. скалярное произведение векторов хну равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.