2.7. линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений
2.7. линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений
Вектор Ахк +А2кг+ ...+AJcm называется линейной комбинацией векторов Ai, А2, А„ с коэффициентами кь к2, кт.
О Пример. Дана система векторов Л, =(1, 2, 5, — 9), Л2 = ( — 1, 3,1, —5), Л3 = (0, 7, —2, 4), Л< = (1, —2, -2, 3). Найти координаты линейной комбинации 2Л| — ЪАг + А$ — 0At.
Выполняя указанные операции над векторами, получим
апх1 + аі2хг+ ... + а1яхя=*Ьи а21*і + 0.27X1+... +а2ях„=Ь2,
атХ + а„2х2 +... + атях„ = Ьт
(2-9)
в векторной форме.
Обозначим через А, А2, Ая столбцы коэффициентов при неизвестных х,, хг, х„, а через В — столбец свободных членов системы уравнений, т. е.
'«и I
an
(-а2
017
Си
/М ь21
, А2
V
1*1 /
ат2
V
I
mj
Теперь систему линейных уравнений (2.9) можно записать в виде
an
z (::
x2 + ...+
x„ =
a„
4
или
А і jc, + А2х2+...4-АпХ„=В.
Последовательность чисел ки к2, К является решением системы (2.9) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение
A,kt + А2кг +'... + Ajzn = В.
2.8. Разложение вектора по системе векторов
По определению, п-мерный вектор В разлагается по системе n-мерных векторов Аи А2, Ая, если можно подобрать такие числа ки к2, к„, что векторы В и Ахкх + А2к2 +... + А„к„ равны, т. е. В=А1кі+А2к2 + ... + Апкй.
Числа кь к2, кп называются коэффициентами разложения.
Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов Аи А2, .., А„, достаточно найти какое-нибудь решение системы линейных уравнений
А і Хі + А2хг+... + А„х„ = В. О Пример. Даны система векторов Ait А2, Л3 и вектор В:
Ах =
4
3
VI
Аг=
1-А о
і
3/
Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов Аи Аъ А}.
Найти общее решение системы линейных уравнений А {х, + А2х2+Аъхъ = В.
Имеем
х2 | х2 | *з |
| |||||||||||
2 | -3 | □ | 2 ** 2 | -3 | 1 | 2 |
| |||||||
4 | 0 | -1 | 7 6 | -3 | 0 | 9 |
| |||||||
3 | 1 | 10 | 17 -17 | 31 | 0 | -3 |
| |||||||
0 | 3 | -3 | 0 6 | 6 | 0 | 6 |
| |||||||
*1 | *2 | *з | *i | *1 | *3 | |||||||||
-4 | 0 | 1 | _7 —*- | 0 | 0 | 1 | 1 | |||||||
-2 | 1 | 0 | -3 | 0 | 1 | 0 | 1 | |||||||
45 | 0 | 0 | 90 | 1 | 0 | 0 | 2 | |||||||
-6 | 0 | 0 | -12 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||||
Исходная система уравнений равносильна системе хэ = 1, х2=, jc, = 2, которая имеет единственное решение 2, 1, 1. Следовательно, B=2Ai + A2 + A-j, т. е. вектор В разлагается по системе векторов Аи А2, Аъ. #.
Разложения вектора В по системе А{, Аг Ая:
Я=Мі + М2 + ...+кяА„, B=IlA, + l1A2 + ...+lKAa
называются различными, если к, ФI, хотя бы при одном значении /,
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы