2.12. однородные системы линейных уравнений

2.12. однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены системы равны нулю. Такая система в векторной форме имеет следующий вид:

AiXj + А2х2+... + А„х„—в.

Каждая однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение Хі=х2 — ...=хл=0 и, значит, совместна.

Всякая однородная система линейных уравнений, у которой число уравнений меньше числа неизвестных, имеет ненулевое решение.

Любое решение Xi = k[, х2 = к2, х„ — кя системы уравнений с л неизвестными можно рассматривать как л-мерный вектор

с координатами klt к2 к„, а поэтому имеют смысл такие

понятия, как линейная комбинация, линейная зависимость и линейная независимость решений. Произвольная линейная комбинация решений однородной системы уравнений является решением этой системы.

Линейно независимые решения Fx, F7, ...,Fk однородной системы уравнений называются фундаментальной системой решений, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений Fu Flr Fk.

Если ранг г системы векторов Аи А2, А„ меньше числа неизвестных л в однородной системе уравнений

AtXi +А2х2+...--Аяхп—в,

то эта система уравнений имеет фундаментальную систему решений и любая ее фундаментальная система решений состоит из п—г решений.

Построение фундаментальной системы решений

Находят общее решение однородной системы уравнений.

Берут систему п—г линейно независимых (л —г)-мерных векторов. Например, еі = (1, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), ел_,=

= (0, 0, .... 1).

3. Подставляют в общее решение вместо свободных неизвестных координаты вектора е, а затем находят значения разрешенных неизвестных. Полученная совокупность значений неизвестных является решением Ft. Аналогична, с помощью векторов е2, .., е„_, находят решения F2, F„^r.

Полученные решения Fu F2, Fw составляют фундаментальную систему решений. Варьируя координаты линейно независимых векторов, получают все фундаментальные системы решений.

о Пример. Найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

3jC( — 2x2 + 2xi— x4 + 4xs=0,

5хі + х2+4х1-2х4 + 7хі=0,

xt-5x2 + xs—0,

4xi — lx2 + 2x-i — Xt + 5;c5=0.

Выбирая для свободных неизвестных х2, хъ, xs значения, равные координатам векторов et = (l, 0, 0), е2 = (0, 1, 0), е3 = (0, 0, I), найдем фундаментальную систему решений: F|«(5, 1, 0, 13, 0), F3 = (0, 0, 1, 2, 0), F3=(-L О, О, 1, 1). •