2.24. симметрические и ортогональные матрицы
2.24. симметрические и ортогональные матрицы
Квадратная матрица А называется симметрической, если А —А . Если же А — —АТ, то матрица А называется кососиммет-рической. Элементы aik и а*,, расположенные симметрично относительно главной диагонали, у симметрической матрицы равны, а у кососимметрической — противоположны.
Если АТ=А-1, то квадратная матрица А называется ортогональной. Матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее строки или столбцы образуют ортонормированную систему векторов.
2.25. Определители квадратных матриц
Назовем произведение п элементов квадратной матрицы правильным, если эти элементы расположены в ее различных строках и различных столбцах, т. е. по одному в каждой строке и каждом столбце.
Если
то произведение аиа22—Я„„ является правильным.
Каждое правильное произведение можно записать в виде
(2.16)
т. е. первый множитель содержится в первом столбце, второй — во втором столбце и т. д. Числа аи а2,а„ — это номера строк, в которых расположены множители правильного произведения (2.16).
Назовем инверсией в последовательности <хь а2, а„ такое расположение индексов, когда больший индекс стоит левее меньшего. Число всех инверсий в последовательности аи а2, обозначим через N (щ,а.ъ а„).
О Пример. В последовательности 2, 4, I, 3 имеется три инверсии (2 находится левее 1, 4 — левее 1, 4 — левее 3). Таким образом, N (2, 4, 1, 3) = 3. •
Перед каждым правильным произведением вида (2.16) будем
писать знак, определяемый выражением (— і)"^1"*2, *я).
Определителем матрицы А называется алгебраическая сумма всех правильных произведений этой матрицы, имеющих знак плюс или минус в соответствии с приведенным выше правилом. Определитель матрицы А обозначают det А или }А.
Применим это определение к матрицам второго и третьего
ко два правильных произведения: апви и «2i«i2> причем первому из них приписывается знак плюс, а второму — знак минус. Следовательно,
ви «12
«21 «22
= «ll«22 —«21«12-
Правильные произведения матрицы
«11 «12 «1з «21 «22 «23 «31«32 «33,
исчерпываются произведениями
«11«22«33, «31«12«2Э, «21«32«13,
«31«22«13, в21«12«ЗЭ, «Ца32«23.
(2.17) (2.18)
причем произведениям (2.17) приписывается знак плюс, а произведениям (2.18) — знак минус. Таким образом,
(2.19)
Знаки, которые приписываются правильным произведениям в (2.19), можно запомнить следующим образом.
Соединим пунктирной линией каждые три элемента матрицы, произведение которых входит в (2.19) со знаком плюс. Тогда пблучим следующую легко запоминающуюся схему:
имеем
1-421
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы