2.32. квадратичные формы

2.32. квадратичные формы

Переход от системы п неизвестных Л], *2, Хщ к системе и неизвестных У,уг> —, У я по формулам

Х*=5иУх + ЬіУг+ ...+siny„

X7 = S2iyi +S2&1+ +Sl*)>m

(Sij — числа при всех і, j)

х„ = s„ іу і + sn2y„+ ...+ snay„

называется линейным преобразованием неизвестных, которое в векторно-матричной форме имеет следующий вид:

x=Sy,

х=(хх, х2, хй), у = (уи уг, уя),

/ ^12 • • ^l* ■*21 ^22 ■ • ' Sln

s=

^nl sn2

I

Матрица S называется матрицей линейного преобразования неизвестных. Если S невырождена, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Квадратичной формой Q (х{, х2, хп) от и неизвестных хи х2,

хя называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначим коэффициент при х} через а^, а коэффициент при произведении хіхк=хкхі (іфк) — через аік+акі, причем аік = акі. Член (аІк+акї) jcpc* запишем в виде aikXjXk + aktXkx,. Теперь квадратичную форму Q можно представить в следующем виде:

Q (xi,x2, xn)=anx + anxxx2+ ... + аХяхххя +...

л Я

... + аяіхЙх1+ая1хЙх2 + ...+аяпхІ=^ Z аих'хг

Симметрическая матрица А = (ау) называется матрицей квадратичной формы Q.

О Пример. Написать матрицу квадратичной формы

Q = 2 х 2 — 5х 2 + 8 х з+4xt х2 — 2xt дс3 + 6х2хг.

Здесь flu =2, <Я22= — 5, (2зз=8, ап~а\% =2, a|3 = e3i = —1, а23 = а32=3. Следовательно,

/2 2-А

А= I 2 -5 3 •

-' 3 7

В векторно-матричной форме квадратичная форма имеет вид Q (х)=хАх, где х=(х, хг, х„). Если в квадратичной форме Q = xAx неизвестные подвергнуть линейному преобразованию

x=Sy, то получится квадратичная форма Q — y (STAS) у с матрицей ST AS.

Рангом квадратичной формы Q=xAx называется ранг матрицы А. Ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных преобразованиях неизвестных.

Для каждой квадратичной формы Q=xAx можно подобрать такое линейное преобразование неизвестных x=Sy с ортогональной матрицей S, что матрица квадратичной формы Q =

=у (51AS) у будет диагональной.

Если Q (х)>0 (<0) для всех хфО, то квадратичная форма Q (х) называется положительно (отрицательно) определенной.

Если квадратичная форма Q (х) положительно определена, то форма — Q (х) — отрицательно определенная.

Квадратичная форма Q (х) — хАх положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы А положительны (отрицательны).

Если А = (аи) — квадратная матрица, то определители

/а„ ... alk

I ' I, fc=l, 2, л,

ak, ... aaj

называются главными или угловыми минорами матрицы А.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательны, а все главные миноры четного порядка — положительны.