3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности

Числовая последовательность {а,} называется бесконечно малой, если lim {a„}=0, т. е. {а^} — бесконечно малая последовательность, если для любого числа е>0 можно, указать номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

Например, если ц> (х), g (jc)—многочлены и degtp (х)< <degg (х), то последовательность 1 является бесконечно

малой.

Бесконечно малые последовательности используют при вычислении пределов последовательностей, так как число а является пределом последовательности {jc„} тогда и только тогда, когда

х„ = а + а„, где {o^} — бесконечно малая последовательность.

,. 2п1 + „ 2лЧі _ 1 fl)

Например, hm ——=2t так как — = 2 + — и < —> — бесн—со п п " 1П )

конечно малая последовательность.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1°. Если {ап}, {/?„} —бесконечно малые последовательности, то их сумма или разность {а„±/?„} также последовательность бесконечно малая.

2°. Если {а,} — бесконечно малая, а {х„} — ограниченная последовательность, то их произведение {ое„ ■ хя) — последовательность бесконечно малая.

3°. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Числовая последовательность {х„} называется бесконечна большой, есди для любого числа А>0 существует натуральное число N такое, что при всех n>N выполняется неравенство хв\>А.

Например, если f (х), ц> (х) — многочлены и degcp (х)>

mi

>degf (х), то последовательность -—-} является бесконечно большой.

Если {хя} — бесконечно большая последовательность, то пишут

lim {х„} = оо.

Если же {хл} — бесконечно большая последовательность и начиная с некоторого номера все х„ положительны (отрицательны),

то пишут lim {хя} = + оо (lim {х„} = со).

Свойства бесконечно больших последовательностей1°. Бесконечно большая последовательность всегда неограни-чена. Однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

2°. Последовательность {хл}, х„э*0 является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность |—-| бесконечно малая.

ЗЛО. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей

Если последовательность {хп} постоянна, т. е. при всех п х„ — = С=const, то lim х„—С.

Я-.00

Предположим, что последовательности {хя}, {у„} сходятся. Тогда:

1) сходятся последовательности {х„+у„}, {хяу„}, причем

lim (x„ + vn)=limx„+limj„; lim (хп • у„) = lim хя • lim уп;

Л-.00 Я-.ЕО Л~»СО ft-*00 П-.00 л-*со

2) если lim)',Ф0, то сходится последовательность < —>, прил-со У*

чем lim — =

lim уп

Л-.00

то:

Отсюда следует, что если последовательность {х„} сходится, a) lim (С х„)= Clim хя (C=const); б) lim (x„)*=(lim x„f

(к — натуральное число).

Приведенные утверждения часто используют при вычислении пределов числовых последовательностей. В частности, можно показать, что если <р (х), g (х) — многочлены и deg <р (х) =

=degg (х), то lim равен отношению коэффициентов при

старших степенях многочленов ф (х) и g (х). Например,

,. Зл2-2л-і-8 3

Inn = .

2-4в2 4

3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей)

Имеют место следующие утверждения:

Если последовательности хя}, {уя} сходятся и при всех

номерах л выполняется неравенство хя^у„ то lim xB^limy,.

Л—» 00 Л-400

Если при всех л выполняется неравенство хя^уя^гя и lim х„ = lim z„ = a, то и Іітуя=а.

п-*ао п-*оо Я-.00