3.15. непрерывные отображения пространства и неподвижные точки

3.15. непрерывные отображения пространства и неподвижные точки

Говорят, что задано отображение f пространства R" в себя (f: R"-+R''), если каждой точке MeR" поставлена в соответствие определенная точка N=f {M)ejf.

Точка МйєК" называется неподвижной точкой отображения

f: R'^R", если f(M0)=M0.

Рассмотрим, например, отображение пространства R2 в себя:

(*ь *2)-"(*i, 2х2-1).

Точки Мх (0; 1), М2 (1; 1) являются неподвижными точками этого отображения.

Отображение/• R"-*R'' называют непрерывным в точке Mo^R",

если для любой последовательности точек пространства R": Мх, Мъ Мк,сходящейся к Ма, последовательность/(МХ),/(М2), ...,f(Mk), ... сходится к/(М0).

Отображение/: R"~*R" непрерывно на множестве V(V'Я. R), если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Теорема Брауэра. Пусть V — непустое компактное выпуклое множество пространства R*, a f. R"-»R" — отображение пространства R Если отображение f непрерывно на множестве V и f(M)eV для всех МєУ, то в множестве V существует неподвижная точка этого отображения.

Отображение f. R"-»R" называется сжимающим, если существует тахое положительное число а<1, что для любых двух точек Ми Мг є R" выполняется неравенство

рУШі),/(Мг))£ар (МиМг).

Рассмотрим, например, отображение пространства R":

(хи хг, хя)~*(уиуг уя),

л л л

где Уі— X ajiXk+bi, i=l, 2, п. Если £ £ °St< 1. т0 это ©тобk- i-t кражение является сжимающим.

Свойства сжимающих отображений

1°. Сжимающее отображение непрерывно на всем пространстве R".

2°. Сжимающее отображение пространства R" имеет неподвижную точку, и притом единственную.