4.4. сложные функции (суперпозиции)

4.4. сложные функции (суперпозиции)

Пусть функция у=/(щ; и2 ...; ит) определена на некотором множестве W £ Rm переменных щ, иъ ит, а каждая из функций

"і=Лі (хи хг; х„). ы2 = £г (*ь х2; ...; *„), ... , um =

=^in —і **)

определена на некотором множестве V ^ R" переменных Х,

х2, хЙ.

Если при этом каждой точке М (хи х„)є К можно поставить в соответствие точку N (щ; и2; ит)є W, где

«і=?і (х,; хп), u2=g2 (xu ...; хя),..., ит= =gm (*ь х„)

(см. п. 1.23), то на множестве V определяется функция y=f g (xu хг, xn), g2(xu x2, x„), gm(xt, x2, хя)], называемая сложной функцией переменных хи х2, х„ или суперпозицией функций/ gu g2, gm.

В частности, если даны две функции одной переменной У~/(и)> u=g(x) и при этом E(g)^D(J) (множество значений функции g является подмножеством области определения функции j), то говорят о сложной функции y=fg (х)] одной переменной х. Например, пара функций у = 2", u=sinx задает сложную функцию у — 2*тї, определенную на множестве R1 и имеющую

4-421 множеством значений отрезок [1/2, 2]. Аналогично, функция у=In cos ~ является суперпозицией следующих функций:

y—lau, u = cosv, v=-, z = y/x.