4.7. выпуклые и вогнутые функции

4.7. выпуклые и вогнутые функции

Пусть функция y=f (М) определена на выпуклом множестве F=R".

Функция у =/ (М) называется выпуклой {вогнутой) на множестве V, если для любых двух точек Mi (jci, Хг, х„) и М2 (у,Уі, у„), принадлежащих V, и для любого действительного числа О^а^ 1 выполняется неравенство

f(N)^af(Mi)+0 -а)/(М2) (f(N)>zf(Mi)+(l-а)/(М2)), где

JV (ах,+(1 -а) уГ, ах2+(1-а) уг; ...; ах„ + (1 -а) уя). О Примеры.

Функция f(x) = x2 — выпуклая на R1. Действительно, для произвольных Х, jf^eR1 и любого я є [0, 1] получим

а/(х,)+ (1 -a) f(x2)-/[ах, + (1-а) х2]=ах2+(1 — а) х— —[ах! + (1 —а) xj2 = a (1-а) х — 2а (1 —a) XiX2+ 4-а (1-а)х| = а (1-а) (х!-х2)2>0.

Линейная функция f{M)=aiX + а2х2 + ... + а^ся является одновременно и выпуклой, и вогнутой на всем пространстве R".

Квадратичная функция

/ (М) = а і, х 2 4а22х I +... 4аяях2 42а j 2х, х2 4-... ... + 2а1вхіх,)4-...42ая_,яхв,.іх(1

является выпуклой (вогнутой) на R тогда н только тогда, ког/ она положительно (отрицательно) определена, т. е. принимает неотрицательные (неположительные) значения. Например, функция f (M)-2x2+Uxl+52xl + ixix1+4xlxi-l6x2XJ является выпуклой на пространстве R3. Действительно,

/(М)=2 (хf+4х,х2+2xix3) +11х+52х]—16хгхъ = =2 (хХ+ЬХїХг + ТхіХї + ЬхІ + хІ+Ахгхд+ЗхІ + ЬЬхІ^АхгХ^ = 2 (*1 + 2х2 + х1)1+3 (х-\%хгхг + Ьх)+2х= = 2 (хі+2х2 + х3)2 + 3 (лг2—4jc3)2 + 2jc2>0

во всех точках пространства R3, т. е, функция / (М) положитель но определенная, ф

Свойства выпуклых функций

1°. Функция f(M) выпукла на множестве V тогда и< толы., тогда, когда функция —/ (М) вогнута на V.

2°. Если функции f (М) uf2 (М) выпуклы на множестве V, т функция kji (My + kjfi (М), где к,, кг — произвольные неотриц тельные числа, также является выпуклой на V.

3°. Если функция / (М) выпукла на множестве V, то множество {Me Vf(M)^b), где b — любое число, если только оно не пусто, само является выпуклым множеством.

4°. Если выпуклая функция / (М) определена на открытом множестве V, то на этом множестве она непрерывна.

Аналогичные свойства имеют место и для вогнутых функций.