4.8. специфические свойства функций одной переменной

4.8. специфические свойства функций одной переменной

Функцияy=f(x), определенная на множестве V £ R1, называется четной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки ;с = 0 и имеет место равенство f {~x)=f (х) для любого xeV.

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оу.

Функция у=/(х), определенная на множестве V S R1, называется нечетной на этом множестве, если множество V симметрично относительно точки jc=0 и имеет место равенство /( — х) = = —/ (х) для любого xeV.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

О Примеры.

Функция у = cos х, для которой D (у)—] — оо, + оо[, является четной функцией, так как cos (—x)=cos х для всех хе D (у).

Функция >> = arcsin;c, для которой D (у)=[ — 1, 1], является нечетной функцией, так как arcsin (-х)= — arcsinх для всех xsD(y). 9

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек х и х+1 из области определения функции имеет место равенство f(x + t)=f(x). При этом число / называют периодом функции.

Практически всегда ставится вопрос о наименьшем из всех возможных периодов, т. е. о числе T=mint).

і

Если функция y=f(x) непрерывна, отлична от постоянной и периодическая на R1, то существует наименьший период Тэтой функции. Все остальные периоды кратны Т, т. е. t, = nT, где л = 1, 2, 3, ... .

О Примеры.

у = sin х и у = cos х имеют период Т~ 2п.

y = tgx и y=ctgx имеют период Т=п.

Функция Дирихле

Функция у=/(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве V S R1, если она определена на этом множестве и если для любых значений xit хгеУ из условия xt<x2 следует неравенство

/(х,)</(х2)(Г(Х1)>/(х2)).

Функция y~f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве KsR1, если она определена на этом

МНОЖеСТВе И ЄСЛИ ДЛЯ ЛЮбыХ ЗНачеНИЙ Х, Х2В V ИЗ УСЛОВИЯ Xi <х2

следует неравенство

f(Xl)^f(x2) (f(x])^f(x1)).

Возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями. Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными.

О Примеры.

1. y = lgx — строго монотонно возрастающая функция во всей области определения (см. рис. 1.11).

2. ^=^^ —строго мо но іонно убывающая функция в об

ласти определения (см. рис. 1.10).

у — хг— функция, возрастающая в промежутке [0, +оо[ и убывающая в промежутке ]^ оо, 0] (см. рис. 1.5).

^ = [jc] — целая часть числа х (см. рис. 1.18) — неубывающая функция, #