4.9. обратная функция

4.9. обратная функция

Пусть функция y=f(х) определена в области D (у).Я К и имеет множество значений Е (у). Если эта функция такова, чт о для любых хи x2eD(y) из условия х^Фхг следует условж /(xi)^f (xj), то каждому уеЕ (у) можно поставить в соответствие определенное xeD (у) такое, что f(x)=y, т. е. на множеств Е (у) можно определить функцию x=g (у), называемую обратно' к заданной функции y=f(x).

Областью определения обратной функции является множес во значений Е (у) функции y—f (х). Множеством значений обра* ной функции является область определения D (у) функции У=/(х).

Например, функция у=х , заданная в промежутке [0, +оо[, имеет обратную функцию х= + у/у, определенную на множестве Е 00 = [0, + оо [. Эта же функция, заданная в промежутке ] — оо, 0], имеет обратную функцию х= — у/у, определенную на множестве Е (у) = [0, +со[. Однако функция j=/(x)=x2, заданная, например, на отрезке [—2, 2], не имеет обратной функции, так как /(—1)=/(1)=1 (двум различным значениям аргумента х= -1 и х = 1 соответствует одно и то же значение у).

Если функция y—f(x) определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке [а, Ь], то она имеет обратную функцию x=g (у), определенную, непрерывную и строго монотонную на отрезке с концами в точках / (a) uf(b).