4.10. понятие предела функции
4.10. понятие предела функции
Пусть функция y—f (M)=f (х,, х2,.., х„) определена на множестве V £ R" и М0 (х ?; х°;х°) — предельная точка множества V.
Имеют место два эквивалентных между собой определения предела функции.
Число Ь называется пределом функции f (М) при М, стремящемся к М0 (М-*М0), если для любой последовательности точек Мь М2, Мк, .... где Мке V (к — 1, 2, 3, ...), МкФМ0, сходящейся
к Mo, последовательность значений функции /(А/,), /(Мг)
/ (Мк), — сходится к числу Ь. При этом пишут
b= lim /(М) или Ь= lim /(х,; х2; х„).
2 I
I -г* в *
В частности, для функции одной переменной у=/(х) число Ь называется пределом при х-*х0, если для любой последовательности значений аргумента хь х2, хк, где хкє V, хкфх0 (к= 1, 2, 3, ...), сходящейся к х0, последовательность значений функции f(х),/(хг), ...,f(xk), ... сходится к числу Ь:
b= lim / (х) или /(х)-*Ь при х-+х0.
Число Ь называется пределом функции/ (М) при М-*М^, если для любого числа е>0 можно указать такую окрестность Sr (Ма) точки М0, что для всех точек MeSr (М0) f] V, МФМ0 выполняется неравенство
\[(М)-Ь\<г.
В частности, для функции одной переменной y=f(x) число b называется пределом при х^х0, если для любого числа £>0 можно указать такое положительное число 5, что для всех х е V, хфх0 и удовлетворяющих условию х — х0\<3, выполняется неравенство ]f (х)—b\<t.
О Примеры.
1. lim cosx= 1.
Действительно, возьмем произвольное е>0. Так как jcosx—1| =
X Х^
=2sin2-<—, например, в промежутке |х|<я/2, то, положив
<5=min (я/2, у/іе), получим, что для всех х^О, удовлетворяющих условию |х|<<5, выполняется неравенство jcosx— 1|<е.
2. lim sin не существует. Действительно, рассмотрим две
*~* Х 1,1
последовательности {хк} и {хк}, где хк~—, хк = , к—1, 2,
пк к/2+2пк
которые сходятся к нулю. Последовательность значений функции {/" (х*)} сходится к нулю, так как / (хк) = sin пк = 0 при всех к.
Последовательность же {/"(хк)} сходится" к единице, так как f(x'k) = sin (я/2 + 2тгк) = 1.
юз
3. lim не существует. Действительно, рассмотрим две
последовательности точек {Мк (\}к, ijk)} и {М'к (2/fe, 1/fc)}, сходящиеся к точке О (0; 0). Последовательность значений функции f(Mx)=f(, 1)=1/2, /(Л/2)=/(1/2, 1/2)= 1/2, /(А/*)=/(1Д, 1/А)=1/2, ... сходится к 1/2, а последовательность f(Ml)=f(2, 1) = 2/5,/(Л/2)=/(1, 1/2) = 2/5, ...,/(АО=/(2Д, 1/А:)=2/5, ... сходится к 2/5. #
4.11. Некоторые замечательные пределы
1. ііт— = 1. 2. lim— = 1. 3. Іша = 1.
х-Л x ДГ-.0 x ж-0 X
4. limarCt^C=l. 5. lim(l + jc)"* = e (e= 2,718...).
log. (1 +JC) ln(l+x)
6. lim = log„e. 7. lim = 1.
хчС x i_>o x
X X
a ~ e -1
8. lim = ln a. 9. lim = 1.
л-о x j[_o x
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы