4.14. односторонние пределы

4.14. односторонние пределы

Пусть функция у=/(х). определена при х<х0, где лг0 — предельная точка области определения функции.

Число b[=f (xq — 0) называют пределом слева функцииf(x)при х-*х0, если для любого числа е>0 можно указать такое положительное число &и что для всех хфх0, удовлетворяющих условию х0 — х<ё1, выполняется неравенство f (х)—Ь11 < є (рис. 4.2):

Я*0-0)= і™ /(*).

Пусть функция y=f{x) определена при х>х0, где х0 — предельная точка области определения функции.

Число Ь2=/(хд + 0) называют пределом справа функции / (х) при х~*хй, если для любого числа £>0 можно указать такое положительное число $2, что для всех хфхй, удовлетворяющих условию х — хй<8ъ выполняется неравенство f(x)—b2\<£ (рис. 4.2):

f{x0 + 0)= lim f(x).

Функция y=f (x) имеет предел в точке х0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как слева, так и справа и они ^_ равны, т.е./{x0-0)=f(x0 + 0). Например, для функции

f (х) = —1— предел слева при

1+21/Х

х-*0/(—0) = 1, а предел справа при х-*0 f (+0)=0 и, следовательно, lim / (х) не существует (рис. 4.3).