4.15. основные теоремы о пределах

4.15. основные теоремы о пределах

1. Если функция y=f (М) = С (С— постоянная), то

lim f(M)=C.

2. Если lim / (Л/) существует, то для любого числа к

lim kf(M) = klim f(M).

о

3. Если существуют lim / (М) и lim g (М), то: а.) существует lim [/"(AO+g (Л/)], причем

lim [У(Л/)+£(Л/)]= lim /(*/) + lim * 6) существует lim [/"(A/)# (А/)], причем

lim [/"(Л/) ^ (Ai)}= lim f(M)lim jj (AO;

в) если lim g (М)Ф0, существует lim , причем

lira f(M)

.. /(AO м^и/

lim = о .

0 lim g (M)

4. Пусть f(M)^g(M) в некоторой окрестности точки А/о. Тогда lim /(А/)^ lim g (А/), если эти пределы существуют.

В частности, если /(Л/КО (/"(Л/)^0), то lim /(Л/КО

(lim /(Л/)>0).

5. £слы (р (M)^.f(M)^g (А/) в некоторой окрестности точки Мо и lim <р (A/) = lim g (Af) = b, то lim f(M)=b.

О Пример. Имеем

!im X ■ lim x2

Г2 *r2

x,x2 x2-.~i x2 —і 2 (-1) 2 _

lim

1 lim xf+ lim xi

4.16. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция у=а (М) называется бесконечно малой при М-*М0, если

lim а(М)=0.

В частности, функция у —а (х) называется бесконечно малой при х-*х0, если

lim а (х) = 0.

О Примеры.

1. Функция а (х) = бесконечно малая при jc-*2, так как

х-2

lim = 0. Данная функция является бесконечно малой также

х-2 X2

х—2

при х-юо, так как lim —— = 0.

Х-.СО Л

2. Функция a (jc,, х2)= бесконечно малая при стремлении

точки М (xi, Хг) к любой точке прямой хг—хи за исключением начала координат О (О, 0). Функция a (xL, х2) не имеет предела при М (х„ Хг)-*0 (0, 0). • >

Свойства бесконечно малых функций

1°. Предел lim f(M) существует и равен числу Ь тогда и только тогда, когда/ (а/)=6 + ос (Л/), где а (а/) — бесконечно малая при а/-»л/0.

2°. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых при М-*Мо функций являются бесконечно малыми функциями.

3°. Произведение бесконечно малой при М-*М0 функции на ограниченную в некоторой окрестности точки Л/0 функцию является бесконечно малой функцией.

Функция y—f (а/) называется бесконечно большой при М-*М0, если для любого числа К>0 можно указать окрестность Sr (а/0) точки а/0 такую, что для всех точек а/є5, (а/0), МфМъ выполняется неравенство f(M)\>K.

В этом случае пишут lim f(M)~co или /(М)~*оо при

а/->а/0. 0

В частности, функция одной переменной у=/(х) является бесконечно большой при х-*х<ь если для любого числа К>0 можно указать такое зависящее от К положительное число д, что для всех х^Хо, удовлетворяющих условию |х—x0|<<S, выполняется неравенство f(x)\>K.

О Примеры.

х—2

Функция а (х)=— бесконечно большая при х-»0, так как lim а (х) = — со.

Функция f(x)=— бесконечно большая при х-»1, так как

х—1

для любого К>0 найдется 5 = jK такое, что для всех хФ, удовлетворяющих условию jx —1| < 1/£, выполняется неравенство f(x)\>K. При этом

lim f(x)=оо, lim /(х)=+со.

ж—1 —0 j-H+O

3. Функция / (М) = ~— бесконечно большая при М~*0 (0, 0),

х*+х!

так как 1 г

lim /(а/) = + со.

«-(О, 0)

Функция /(Л/). /(М)ФО при МФМ0, является бесконечно большой при М~*М0 тогда и только тогда, когда функция

а (Л/)=——является бесконечно малой при М~*Ма.

Функция / (х) одной переменной является бесконечно большой при х—*оо, если для любого числа L>0 можно указать такое зависящее от L положительное число К, что для всех |x|>Jf выполняется неравенство f (х) > L,

4.17. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть функции f(x) и g (х) таковы, что /(х)Ф0, g (х)фО при хфхц и существует предел lim ^-^ = 1. Тогда:

а) если 1ф0 и 1ф со, то говорят, что функции f(x) и g (х)

одного порядка при х~*х0, и пишут/(х) = 0* (g (х));

б) если /=1, то функции / (х) и g (х) называют эквивалентными при х-*х0 и пишут / (x)<s>g (х);

в) если /=0, то функцию / (х) называют функцией более высокого порядка малости по сравнению с функцией g (х) при х-*х0

и пишут / (х)=о (g (х)) (читается: «/ (х) есть о малое от g (х) при

х~+х0»);

г) если /=оо, то g (х) = о (f (х)).

О Примеры.

sin^ X 1

1. siuzx=0* Ох2) при х-*0, так как lim = -ФО (см. п.

Зх1 3

4.11).

X

2. х=о (х2) при х-*со, так как lim — = 0. В то же время

і-чіі х

х2~о (х) при х-*0, так как lim — =0. 9

~° х . /W

Если f(x) = 0* (g (х)) при х-*х0, т. е. lim—— = 1ф0, то

х^х0 g (X)

f(x)v)g (х) и f(x)=g (х) + о (g (х)) при х~*хц. Если f(x)wu (х),

и (х)

a g (x)cr>v (х) при x-*Xq, то при условии существования lim —

х->хя * (х)

/W fix) .. «М 0

существует и lim , причем Jim = lim .

х~хп 8 (*) х-*х g (*) V (Х)

О Примеры.0 ° °

1. При а>1 и р>0 о\%ах = о(хр) и хг = о(а) при х-юо, т. е. логарифмическая функция растет медленнее степенной фунхции, которая, в свою очередь, растет медленнее показательной функции.

2. Если а (х) — бесконечно малая при х-*х0, то имеют место следующие эквивалентности:

sinot (х)соа (х);

tgo, (х)сла (х);

arcsina (х)соа (х);

arctg а (х)соа (х);

log„ [1 +а (х)]ооа (х) 1о&е;

1 — cos а (х)со

2

а(х) — 1 соа (х) lna; [1+а(х)]"-1сои а(х);

Vl+« 1 а (х).

л

Указанные эквивалентности полезно использовать при вычислении пределов функций. Например,

*' 1 Xі

lim =— = lim = — 3;

*-»о sin* Pjl-x-l) Х-.0 * з

Здгэ-7х + 2 „ Зх3+о(ІХ3) Злґ3 . _

lim = Um = lim = —3. Щ

х-.» 4-bx+9x2-x3 x_frj -ї3+о і-Xі) x^.Sj -xs