4.18. асимптоты графика функции одной переменной

4.18. асимптоты графика функции одной переменной

Пусть функция y=f(x) определена при всех х>х0 (х<х0). Если существуют числа к и b такие, что функции fix)—кх — b~o (1) при Х-+ + СО (х-* — оо), то прямую линию у=кх+Ь называют асимптотой графика функции y—f(x) при X-+ + QO (х-> — оо).

При этом если кфО, то асимптоту называют наклонной, если же k=0 (тогда у=Ь), то горизонтальной.

Условие /(х) — кх—b=o (1) означает, что lim f(x)ДС-. + О0

—&x—6]=0 и, следовательно, функция/(х) при х-* + со (х-> — оо) неограниченно приближается к прямой у—кх+b («ведет себя

Рве, 4,4

Рис. 4.5

почти как линейная функция»). Например, на рис. 4,4 изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у—х— 1 при х-+ + оо (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у= при х-* — оо (левая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы

lim ^^■ = ki и lim [f(x)—kix] = b],

то прямая у=кХ+Ьї является правой наклонной (при £, = 0 — горизонтальной) асимптотой графика функции y=f(x).

X

Если существуют пределы lim ^— = к2 и lim [f (х) — кх] =

х^*~* — оо

=Ь2, то прямая у = к2х+Ь2 является левой наклонной (при &2=0 — горизонтальной) асимптотой графика функции у=/(х).

Пусть функция у =/ (х) определена в некоторой окрестности точки х=х0. Если lim f (х) — со или lim f(x) = co, то прямая

x-tx^—O х^х^+0

х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции

Например, на рис. 4.5 изображен график функции у=/(х), имеющий вертикальную асимптоту х=2, так как lim / (х) = + со. Предел справа lim / (х) = 1.

лг->2-0 jc-2+О