4.18. асимптоты графика функции одной переменной
4.18. асимптоты графика функции одной переменной
Пусть функция y=f(x) определена при всех х>х0 (х<х0). Если существуют числа к и b такие, что функции fix)—кх — b~o (1) при Х-+ + СО (х-* — оо), то прямую линию у=кх+Ь называют асимптотой графика функции y—f(x) при X-+ + QO (х-> — оо).
При этом если кфО, то асимптоту называют наклонной, если же k=0 (тогда у=Ь), то горизонтальной.
Условие /(х) — кх—b=o (1) означает, что lim f(x)ДС-. + О0
—&x—6]=0 и, следовательно, функция/(х) при х-* + со (х-> — оо) неограниченно приближается к прямой у—кх+b («ведет себя
Рве, 4,4
Рис. 4.5
почти как линейная функция»). Например, на рис. 4,4 изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у—х— 1 при х-+ + оо (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у= при х-* — оо (левая горизонтальная асимптота). Если существуют пределы
lim ^^■ = ki и lim [f(x)—kix] = b],
то прямая у=кХ+Ьї является правой наклонной (при £, = 0 — горизонтальной) асимптотой графика функции y=f(x).
X
Если существуют пределы lim ^— = к2 и lim [f (х) — кх] =
х^*~* — оо
=Ь2, то прямая у = к2х+Ь2 является левой наклонной (при &2=0 — горизонтальной) асимптотой графика функции у=/(х).
Пусть функция у =/ (х) определена в некоторой окрестности точки х=х0. Если lim f (х) — со или lim f(x) = co, то прямая
x-tx^—O х^х^+0
х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции
Например, на рис. 4.5 изображен график функции у=/(х), имеющий вертикальную асимптоту х=2, так как lim / (х) = + со. Предел справа lim / (х) = 1.
лг->2-0 jc-2+О
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы