4.22. непрерывность сложной функции

4.22. непрерывность сложной функции

Пусть задана функция y=f(uu и2, .... ит), определенная на множестве W Я Rm. Пусть, кроме того, каждая из функций ы, =

=gi (*ь х2, х„), u2=g2(xu х2, х„), um=gm (х,, хъ х„)

определена на множестве V ^R" (см. п. 4.4).

Если функции gu g2, gm непрерывны в точке М0 (хь х2; ...

х°)є V, а функция y~f(uu иъ и„) непрерывна в соответствующей точке Р„(м?; и, и°т), где и?=*і (Л/0), u°2=g2 (Л/0), ...

u°m=gm (Mo), то сложная функция

y=fg (Xi, Х2 х„), g2 (х|, х2, xj, ...

gm (х,, х2, х„)]

непрерывна в точке Мй.

В частности, если функция u=g (х) одной переменной х непрерывна в точке х0, а функция y=f(u) одной переменной и непрерывна в точке u<j=g (хо), то сложная функция y=f [g (х)] непрерывна

в точке хо, т. е. lim f(u)= lim fg (x)]=/[lim g (x)]Последняя формула показывает, что, с одной стороны, операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции (правое равенство), а с другой стороны, дает правило замены переменной при вычислении пределов непрерывных функций (левое равенство).

О Примеры.

1. lim х pn (х+ 1)—lnx]= lim xln =

X—* + 00 Х-* + 00 X

= lim In(l+-]=ln lim (

1 + ' X

= Ье=1 (см. n. 4.13).

sin их

2. lim

jc-»i X'

X=t + 1

x -»!=>?-

sdn (itf+n)

= lim :

—sin ж /sin ж я Л я я

= hm = —lrra '— ] = (— 1) —.

,_о '('+2) nt t+lj 2 2