Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная
Раздел v дифференциальное исчисление функций одной переменной 5.1. производная
Пусть функция y~f(x) определена в некоторой окрестности точки X.
Первой производной (производной первого порядка) функции / (х) в точке л: называют конечный предел отношения приращения функции Ау=А/(х) к приращению аргумента Ах при условии, что Ах стремится к нулю. Обозначения производной:
■ . <»/(*> dy
f (x),yx.y» ——, —.
ax ax
Таким образом,/^ (x) = lim — = lim —.
ix .о Ai дх-»о A*
Если в некоторой точке х lim — = оо (+ со, — со) и функция
А*-о Ал
/ (х) непрерывна в точке х, то говорят о наличии у этой функции в точке х «бесконечной производной»/' (х) = со (+00, — 00). Конечные или бесконечные пределы
J_ (x)= lim и f+ (x)= lim
называют соответственно левой и правой производными функции /(х) в точке X.
Функция / (х) имеет в точке х производную/"' (х) тогда и только тогда, когда односторонние производные /_ (х) и/+ (х) существуют и совпадают, т. е./' (x)=f^ (x)=f+ (х).
Операцию нахождения производной f (х) называют операцией дифференцирования функции / (х).
О Примеры.
1. Функция f(x) — x2 имеет конечную производную при любом действительном х. Действительно, при любом х имеем /' (х)=іті і- - = lim y—L = lim (2х+Дх)=2х.
І
Функция/ (л) = 3-Jx имеет в точке jc = 0 бесконечную производную. В самом деле,
r-rtft у Vo+Ax-0 1 .
/ (0)=lim = lim — = + оо.
Функция / (х)=см не имеет в точке х = 0 производной, хотя в этой точке существуют конечные односторонние производные. В самом деле,
/+ (0)= lim — = lim -— = 1;
дх-.+о ах дх~.+о Аг
Ю+Адг| -Ддг
/_ (0)= lim = lim = -1
ir-,-0 Дх &x-*~a Л*
(см. п. 4.11), но/_(0)*/+ (0). •
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы