1.6. обыкновенные н десятичные дроби

1.6. обыкновенные н десятичные дроби

Числа 0, +1, ±2, +3, ±4, + 5, ... называют целыми. Отношение двух целых чисел рад принято называть обыкновенной

дробью Р(используют также запись p:q и pjq). При этом целое я

число р называют числителем, а целое число цФО — знаменателем дроби.

Если числа р и q имеют общий делитель, отличный от единицы, то дробь можно сократить. Сокращение дроби производится делением числителя и знаменателя на их общий делитель. Результатом сокращения является дробь, тождественно равная данной дроби. Например, дробь 34/51 можно сократить на НОД (34, 51)= 17, так что 34/51=2/3.

Если |р|<І9І (см. п. 1.9), то дробь называют правильной; если то неправильной. Неправильная дробь может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной дроби, т. е.

8 2 2

в виде смешанного числа. Например, = 2 + = 2-.

3 3 3

При сложении (вычитании) обыкновенных дробей ajb и cjd поступают следующим образом:

а) находят НОК (b, d);

б) определяют дополнительные множители для каждой из

данных дробей, т. е. находят такие числа rut, что br = dt=

НОК = (6, d);

в) строят искомую дробь в виде

ar±ci НОК (й, d)

г) сокращают полученную дробь.

Например,

21 31

-'5 -' 3_5 2+33_19 12 8~ 24 ~2А'

"J7 1 _7 3-1 5_ 16 _ 2 40 24~ 120 _ 120—15*

Умножение и деление обыкновенных дробей осуществляют яо следующим правилам:

а с ас а с a d ad b d bJ b d be be

при этом полученные результаты необходимо сократить, если это возможно. Например,

2 3_2Э_3 3 9_3 14_3 14_2

5 10~510-25' 7'і4_7 9 ~ 79 ~У

Числа, представимые обыкновенными дробями, называют рациональными. Все целые числа входят в множество рациональных чисел.

Конечной десятичной дробью называют дробь, знаменатель которой является целой положительной степенью числа 10. В этом случае дробь принято записывать без знаменателя, отделяя в числителе запятой (справа налево) столько знаков, сколько нулей в знаменателе. Например, ~ = 0,3; 1—=17,21:

к 10 100

—=0,013.

1000

Бесконечная десятичная дробь имеет вид jc0, XiX2Xy..x„..., где хв — целое число, а каждая из величин дс,, х2, х„, ... принимает одно из значений 0, 1, 2, 9.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если в ее записи начиная с некоторого места бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби. В записи дроби период принято заключать в скобки. Например, дробь 1,6234234234 ... записывают в виде 1,6 (234).

Если бесконечная десятичная дробь не содержит периода, то ее называют непериодической.

В тех случаях, когда период дроби равен 0 или 9, дробь рассматривают как конечную. Здесь имеют место следующие правила:

хо, 000... =х0; (хв-1), 999... = х0; x0t xlx-i..jcn0W— = x0, ХіХ2...хя (хяфО, п = 1, 2, 3,...); х$, ХіХ2...(хя-) 999... = x0l ХіХг...хп (x„*0,n=l, 2, 3...).

Например, 0,37 (9)=0,38 (0) = 0,38. 8

Числа, представимые всевозможными десятичными дробями, называют действительными (вещественными).

Всякое рациональное число представимо либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например, 7/22=0,3 (18); 3/16 = 0,1875. Все рациональные числа входят в множество действительных чисел.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, принято называть иррациональными. Всякое иррациональное число

представимо в виде бесконечной непериодической десятичной

дроби. Например, ^/2= 1,414213 я=3,141592...; е=

=2,718281... — иррациональные числа.

Для любого действительного числа х и для любого сколь угодно малого положительного рационального числа s найдутся два рациональных числа oti и а2 такие, что а^л^вз и а2—<Хі<є. Числа oti и <хг называют приближенными значениями числа д: по недостатку и по избытку соответственно при заданной степени точности £. Например, 1,414^^/2^1,415 с точностью до 0,001.