5.2. дифференцируемость и дифференциал функции

5.2. дифференцируемость и дифференциал функции

Дифференциалом dx независимой переменной х называют ее приращение Ах (dx=Ax).

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если в этой точке ее приращение Ау=А (х) dx+a (dx), где А (х) — постоянная, a a (dx) = o (dx) при dx->0, т. е. является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с дх.

Главную линейную относительно dx часть приращения А (х) dx называют первым дифференциалом (дифференциалом первого порядка) функции / (jc) в точке х и обозначают df (х) или dy. Таким образом, dy—A (х) dx, так что Ay—dy+o (dx).

Если функция f (х) дифференцируема в точке х, то она и непрерывна этой точке.

Функция f (х) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная f (х). При этом A (x)=f (jc), так что dy=f (х) dx.

Из равенства Ay=dy+o (dx) при условии f (х)=£0 следует, что при достаточно малых dx справедливо приближенное равенство Ayzzdy или f (x+dx)szf (x)+f (х) dx, используемое в приближенных вычислениях.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят о дифференцируемости функции на

этом промежутке. Если, кроме того, производная/' (х) непрерывна на данном промежутке, то говорят, что функция f(x) непрерывно дифференцируема на этом промежутке. О Примеры.

1. Функция у=хг дифференцируема при любом х, так как

Ay=(x+dx)2-x2=2xdx+(dx)2 = 2xdx+o (djc). При этом

dy=2xdx.

2. Вычислить приближенно ^/40.

Рассмотрим функцию f(x) = yfx. Ее производная /' (х)=—=.

2у/х

Пусть х=36, x+dx=4Q. Тогда dx=(x + dx) — x=4; f(x)=y/bb У (jc)=-^==-. Отсюда /(jc + djc)==>/40«6 + --4 = 6= 6,33...

■ 2^36 12 ' 12 З