5.3. геометрический смысл производной и дифференциала

5.3. геометрический смысл производной и дифференциала

Касательной к графику функции y=f(x) в точке М (х0; / (х0)) называют предельное положение секущей MN при произвольном стремлении точки N к точке М по графику функции (или, что то же самое, при djc->0) (рис. 5.1).

Значение производной /' (х0) в точке х0 определяет угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (х) в точке М (х0; / (*<,)), т. е. f (x0) = tg(p, где (р — угол между положительным направлением оси Ох и касательной, отсчитываемый против часовой стрелки (рис. 5.1).

Уравнение касательной к графику функции y=f (х) в точке АІ (xe;f(xo)) имеет вид у-~/(х0)—/' (х0) (х~х0).

Если f (хй) = оо ( — со, +оо), то касательная к графику непрерывной функции f (х) в точке М (х0; f (х0)) перпендикулярна оси

Ох (вертикальная касатель-

Написать уравнение касательной к графику функции f (х) = у/х в точке с абсциссой Xq—4.

Имеем f(x0)=y/4 = 2,f (x) = ll2y/x,f (л0) = 1/2 ^4 = 1/4. Следовательно, уравнение касательной имеет вид у — 2=(х—4) или ^ 4

;у = Jt + 1(рис. 5.2). 4

Касательная к графику функции у—Ъу/х в точке (9 (0; 0) будет вертикальной, так как данная функция непрерывна при д: = 0, а/' (0)= + 0О (см. п. 5.1) (рис. 5.3). *