5.5. приложения производной к экономике

5.5. приложения производной к экономике

В практике экономических исследований широкое применение получили производственные функции, используемые для установ ления зависимостей выпуска продукции от затрат ресурсов, при прогнозировании развития отраслей, при решении оптимизационных задач. Например, производственная функция Кобба—Дуг ласа связывает выпуск у с величиной производственных фондов К к затратами живого труда L:

где q и а — постоянные, т. е. является функцией двух переменных аг и і (см. п. 4.1).

В предположении дифференцируемости производственных функций важное значение приобретают их дифференциальные характеристики, связанные с понятием производной. Так, например, если производственная функция y=f(x) устанавливает зависимость выпуска продукции у от затрат ресурса х, то /' (х) называ ют предельным продуктом, если же у =f (х) устанавливает зависимость издержек производства у от объема продукции х, то /' (і) называют предельными издержками.

Характеристикой относительного изменения прироста функции у=/(х) при малых относительных изменениях прироста аргумента х является эластичность функции. Коэффициент эластичности є определяется по формуле

dy йх х s = — :-—, или Е=у ■-.

ух у

Коэффициент эластичности широко используют в исследованиях потребительского спроса на товары в зависимости от цен этих товаров или доходов потребителей. Высокий коэффициент эластичности означает слабую степень удовлетворения потребности; низкий указывает на большую настоятельность данной потребности.

Если производственная функция устанавливает зависимость выпуска у от п производственных факторов xt, х2, хЙ в виде y~f(xx хг хя) (см. п. 4.1), то наиболее важными дифференциальными характеристиками такой функции являются:

ду

а) предельная эффективность фактора лс,-;

дх,

б) — • — эластичность выпуска у относительно фактора х,;

dxf у

в) —: предельная норма замены факторов х, и х,;

АЛ ^ ^

Лі) дх;ъх*

(ду^Ьу Jtj dxj dxj xj

дх[ dxj

г) —— • эластичность замены факторов

Xj и х, (см, П. 6.1).

Теоретический и практический интерес представляют производственные функции с постоянной (отличной от единицы) эластичностью замещения труда производственными фондами и с постоянной (переменной) отдачей на единицу масштаба производства.

Примером такого рода функций является функция CES (Constanta Elastisity of Substantion) y= C0 [CL~" + { Q ІҐ]-"',

для которой эластичность замещения равна ф 1; р,

Со и С — постоянные. р

5.6. Правила вычисления производных и дифференциалов

Пусть функции / (х) и g (х) дифференцируемы в точке х н к — постоянная. Тогда:

Iеf(x)±g (*)]'=/' (x)±g' (х); d f(x)±g (x)]=df(x)±dg (x). 2°. [k -f ■ (jc)]' = kf '(x); d [it ■/ (x)] = к df (x). 3°. f(x)g (x)]'=f (x) g(x)+f(x) g' (x); d tf (x) g (x))=df(x) g (x)+/(x) dg (x).

' [*c*>J **<*>

d — = — (g(x)*0).

5.7. Таблица производных

С (постоянная) х

1о&, х In х

О 1 1

ijx

a In а

хпа 1

sin л

CDS Л

arcsinx arccosx

arctg x arcctgx

COS*

—sinx

1

1

О Примеры.

1. Вычислить производную функции

е +4х* 1пх

Применяя правила (см. п. 5.6) и таблицу производных, имеем

л e'-Hx*

х х , {е 12LJfа) In-r-

(е +4х3)' Іплс—(е +4х3)-0пх)'_ х

^ ~~ In1* ~ Ь*х

2. Для функции у = aarctgх ее производная

X

у'=(вх)' ■ arctg х+я* * (arctg х)' = а*1 In а ■ arctg х Н ;. #

і + X