5.8. производная н дифференциал сложной функции

5.8. производная н дифференциал сложной функции

Если функция u = g (х) дифференцируема в точке х0, а функция У—/(и) дифференцируема в соответствующей точке u0=g (х0), то сложная функция у = Ф (x)—fg (х)] также дифференцируема в точке ль, причем ax Ли ax

Справедливо равенство ay = Ф' (xQ) dx=f (u0)'d и, где du=jj' (х0) dx, т. е. дифференциал равен произведению производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной независимо от того, является ли эта переменная независимой или функцией другой переменной (инвариантность формы первого дифференциала).

о Примеры.

Производная функции у 5=3™ 21 равна

/ = 3™,2jt-ki3-(cos5 2x)' = 30O,,2xln3'5-cos42xx х^овІжУ^ЗшЗ'З™ 2х cos* 2х ■ ( — sin 2х) • (2х)' = = — 101п 3 ' sin їх ■ cos4 2x ■ 3™* 21.

Дифференциал функции y = tg46jc равен

dj = 4tg16xd (tg6x) = 4tg36x— — d (6x) =

cos2 6x

24tgJ6x , 24 sinJ6x ,

= dx= ax.

cos2 bx cos5 6x

Вычислить производную функции >>=ln 4 / (л<1).

J 1-х

Целесообразно предварительно преобразовать выражение этой функции к виду

у = Ы({+х*)-лп(1-х).

4 4

Тогда

1 2х 1—1

У 4 1+х1 4 1-х 4(1-х)(1+х1)