5.9. логарифмическое дифференцирование

5.9. логарифмическое дифференцирование

Прием логарифмического дифференцирования используют в том случае, когда функция имеет вид, удобный для логарифмирования, и сводится к следующей схеме:

а) функцию у заменяют на функцию у\;

б) выражение у логарифмируют;

в) находят производную от In у ((1п[у|)'=по правилу нахоу

ждения производной сложной функции);

г) находят у'.

О Примеры.

1. Для функцииу=(cosjc)"" (cosjc>0) имеем у=у и, следовательно, In у=sin* In (cosx). Тогда

у' і t ~siax

-=cos х ■ ш (cos jc)+sin x ■

у cos X

откуда.

y'=(cosx)mx •] cosjeln (cosx)—'

cos X

tt . , sin5x

2. Для функции у— / имеем

* 1— sinSx

In y = -s In |sin5x|—In |1 —sin5x|.

„ у' 1 cos5x , 1 — 5cos5jt ctg5x

Тогда -=■ ' 5 — = ,

у 5 sinSx 5 1 —sin5x 1 —sinSx

откуда

, 5 / sin 5.x ctg5jr V 1 —sinSjr 1— sinSx