5.11. производная обратной функции

5.11. производная обратной функции

Если дифференцируемая функция y=f (х) (а<х<Ь) имеет непрерывную обратную функцию x—g (у) и уХФ0, то существует производная обратной функции х и имеет место равенство

, 1 ху=-.

У,

Дифференцируя последнее равенство по у и предполагая существование v 1Х, найдем

УXX j^H.

(y'f У~ ОО3

При соответствующих предположениях аналогично можно определить производные любого порядка обратной функции.

Например, для функции у=а" (а>0, аф, у>0) обратной является функция x—iogay. Ее производная

■л Vі 1 1 1

xy=(iogay) = -= = =—.,

1• (а)1 a in а '

Кроме того, так как у '„ = a (In а)1, то

a (lna)2 1

(a lna)

з у1аа