Глава 5 однопродуктовая модель оптимального развития макроэкономики
Глава 5 однопродуктовая модель оптимального развития макроэкономики
5.1.
Моделирование производства на макроуровне
Математическое моделирование на макроуровне (однопродуктовая модель народного хозяйства в целом, межотраслевой баланс, где каждая отрасль представляется в виде одного продукта и одной технологии, и др.) отражает взаимосвязь между факторами производства и его результатом обычно с помощью производственных функций (ПФ). В них затраты производственных факторов на выпуск продукции в единицу времени всегда принимаются неотрицательными. Кроме того, при моделировании ПФ отсутствие всех производственных факторов (их нулевые значения) приводит к нулевому выпуску продукции — это очевидно. Отсутствие хотя бы одного фактора (но не всех) может приводить к нулевому выпуску продукции, а может и не приводить. Это зависит от специфики производственного процесса. Например, в условиях производства в агрессивных средах, где живой труд человека опасен для жизни и потому недопустим, полагают
F(K, L) * О при L = О,
где L — живой труд;
К — капитал (работают приборы, оборудование).
Если имеет место, например, производство ковров ручной работы, когда живой труд L — главный фактор, F(K, L) = О при L * 0.
Полагают также, что факторы производства меняются непрерывно и выпуск продукции при этом изменяется достаточно гладко, что естественно при моделировании производства на макроуровне.
Экономически целесообразно также, чтобы с увеличением количества используемого ресурса (при неизменности прочих ресурсов) выпуск продукции рос, т.е. для дифференцируемой ПФ F(K, L) можно записать неравенства
в>0- Э/^>0 (5.1) дК ' dL
Эти ресурсы, как правило, наиболее существенны в производственном процессе, возможные остальные для простоты не учитываем.
Предположения (5.1), разумеется, справедливы в определенной области значений производственных факторов. Например, малые дозы некоторых ядов (наркотиков) в составе лекарств лечат человека, а большие — могут привести к тяжелым заболеваниям вплоть до летального исхода. То же можно утверждать в отношении чрезмерного количества трудовых ресурсов, когда их излишек снижает эффективность производства, внося в него беспорядок и неорганизованность. Тем не менее будем предполагать исключительность подобных случаев, считая условия (5.1) в разумных пределах нормальными для практики.
Представленным формулами (5.1) условиям отвечают мультипликативные, так называемые неоклассические ПФ вида
Х = АК*1У>, А > О, а > 0, (3 > 0, (5.2)
где X — валовой выпуск продукции;
А — выпуск продукции при единичных затратах капитала и живого труда;
аир— эластичность выпуска продукции соответственно по капиталу и живому труду.
При а >> р производство называют капиталоемким, при р >> а — трудоемким, при а + р = 1 ПФ (5.2) — ПФ Кобба-Дугласа.
Неоклассическая ПФ дает возможность отразить эффект масштаба производства, который проявляется только при одновременном изменении факторов К и L. Пусть эти факторы изменяются в X > 1 раз.
Тогда
F(XKy XL) = Xа + P F (K, L). (5.3)
Различные значения a + p определяют следующие режимы развития экономики:
если a + р > 1 — интенсивный способ развития, т.е. с ростом масштаба производства в X раз выпуск продукции возрастает более чем в X раз;
если a + р < 1 — производство неэффективное, т.е. выпуск продукции возрастает, но менее чем в X раз;
если a + р = 1 (ПФ Кобба-Дугласа) нормальное развитие экономики за счет интенсивных факторов производства [12].
Наблюдения показывают, что в условиях экстенсивного производства увеличение затрат только одного фактора приводит к снижению эффективности его использования. Математически это означает:
d2FVC,L) ,Q. d2F(K,L) cQ (5>4)
Такое явление называют эффектом насыщения. Оно означает, что каждая последующая единица возрастающего фактора соединяется с меньшим количеством другого фактора и его рост дает уменьшающийся прирост продукции. Например, при многостаночной организации производства значительное увеличение числа станков, приходящихся на одного рабочего, в условиях неизменной технологии, квалификации работников и характеристик станков уменьшает эффективность использования оборудования. Примерно то же происходит и в случае , когда руководитель производственного коллектива большую часть работы берет на себя, а не делегирует, хотя бы частично, другим сотрудникам. Он при этом все сам не успевает или делает плохо — его возможности по управлению производством достигли предела.
Для экстенсивного развития характерно
lim
к->о
lim
L->0
dF(K,L)
дК dF(K,L)
(5.5)
Это означает, что при отсутствии фактора А'или L и при их последующем приросте на бесконечно малую величину ДА'или AL скорость возрастания выпуска продукции становится бесконечно большой.
Наоборот, в случае чрезмерно большого возрастания фактора К или L
0;
(5.6)
L->oo 6L
что отвечает снижению до нуля их эффективности.
Математическим выражениям (5.5) и (5.6) отвечает их графическая интерпретация (рис. 5.1).
dF(K, L) IF {К, L)
дк I к ;
dF(K,L) IF(K,L)
(5.7)
Рассмотренные ПФ имеют статический характер, в них в явном виде отсутствует показатель времени и не учитываются факторы научно-технического прогресса (НТП): производственные навыки, обусловленные длительностью моделируемого производственного процесса, образованность работников, общий уровень научно-технического развития общества и т.д.
Простейший способ компенсации всех названных недостатков — введение автономного НТП, когда статическая ПФ умножается на эмпирически возрастающую функцию времени 0(/). В большинстве случаев
9(/) = є?',
где р > 0темп роста НТП.
Преимущество такого способа отражения динамики НТП -его техническая простота, недостаток — сокрытие причин и качественных разновидностей НТП. Получается, что он возникает как бы из ничего, общество не затрачивает дополнительных ресурсов, что, очевидно, нереально. Тем не менее в рамках настоящей главы будем использовать автономный НТП:
X(t) = F(K, L) єр'. (5.8)
На ограниченных отрезках времени (в основном до 5 лет) при статистически определенных значениях р получаемые с использованием формулы (5.8) результаты оказываются удовлетворительными по меньшей мере на качественном уровне.
Обсуждение Оптимальное управление в экономике: теория и приложения
Комментарии, рецензии и отзывы