5.2. оптимизационная модель макроэкономической динамики. магистральная теория

5.2. оптимизационная модель макроэкономической динамики. магистральная теория

В качестве практического применения достаточных условий оптимальности {см. разд. 3.1) рассмотрим однопродуктовую экономическую систему, непрерывную во времени, близкую к модели Солоу—Свана [11, с. 523].

С формальной точки зрения данная модель представляет пример задачи, линейной по управлению, с ограничениями на управление. В содержательном отношении — это характерная модель экономической динамики.

Итак, пусть в экономической системе производится в единицу времени валовой продукт Х9 который в соответствии с уравнением межотраслевого баланса разделяется на две части:

Х= аХ+ У, (5.9)

где аХ — часть валового продукта, необходимая для производства (например, используется в качестве сырья или полуфабрикатов для последующего производства); 0<я<1 коэффициент прямых затрат;

Y конечный продукт, используемый в непроизводственной сфере (для обеспечения жизнедеятельности общества, создания запасов и резервов, обороны, внешней торговли, в инвестиционной деятельности и др.).

В структуре конечного продукта выделим две важнейшие составляющие:

Г=С+/, (5.10)

где С часть конечного продукта, идущая на непроизводственное текущее потребление; / часть, идущая на инвестиции.

В формуле (5.10) можно выделить и другие составляющие (например, инвестиции, идущие на развитие науки и техники и влияющие на развитие научно-технического прогресса, так называемого овеществленного), однако они не являются структурными составляющими создаваемой модели, и мы ограничиваемся формулой (5.10).

Обозначим K(i) количество основных производственных

фондов (капитал) в системе в момент /. Будем считать, что прирост капитала в единицу времени _ равен количеству инвесdt

тиций / в момент / минус их часть, идущая на амортизацию:

^ = 1<0-|*(0. (5-11)

dt

где ц коэффициент амортизации, заданное число.

Допустим, как уже отмечалось в разд. 5.1, задана отвечающая автономному НТП производственная функция

X(t) = FK(t)y L(t),t), (5.12)

где L(t) количество трудовых ресурсов в момент /.

Таким образом, в соответствии с формулами (5.9) (5.12) получаем

its

X=F{K,L,t) Y =(-а)Х = С + /; /= — + хК,

dt

откуда

(-a)F(K,Lj) = C + — + иК, dt

или

— = (l-a)F(K,L,t)-[iK-C, (5.13) dt

где L — внешний фактор, количество трудовых ресурсов, которое будем считать заданным; К — состояние; С — управление.

Формула (5.13) в соответствии с формулой (4.8) представляет уравнение процесса.

Таким образом, сущность управления отвечает принимаемому в момент / решению, какую часть конечного продукта Кследу-ет направить на текущее потребление, а какую — на инвестиции.

Продолжим формирование оптимизационной модели. С одной стороны, С > 0, а с другой —

С< Y= (1-а) Х= (-a)F(K, Ly t),

поэтому имеем ограничения на управление

0< С<(-а) F(K, U 0. (5.14)

Будем считать, что L(t) = L0ent, п — темп роста народонаселения.

В течение рассматриваемого периода времени / є [О, Т будем предполагать п = const.

Функция F(K, Ly t) имеет вид

F = F0Kayl}-aeV.

(5.15) 91

В этом случае согласно выражению (5.2) имеем дело с ПФ Кобба—Дугласа с учетом автономного научно-технического прогресса, что соответствует нормальному развитию экономики.

В результате всех проведенных выкладок имеем

= (1 -аЩКа{^т)х-а^-ііК-С dt

или

— = (1 a)F0I^a^+n &)'К« -\,К-С, (5.16) dt

где Р = 1-а.

Пусть заданы начальное и конечное условия:

K(0) = K0; K{T) = KV (5.17)

Таким образом, объединяя формулы (5.14) (5.17), получаем:

а) уравнение процесса:

= (1 a) F0lkae{p+n ^Ка-мКС; dt

б) ограничение на состояние:

K(t) > 0;

в) ограничение на управление:

0<C<(l-a)F0LPe(p+,lP)rA:a;

г) граничные условия К(0) = К0; К(Т) = Кх

д) при ограничениях п. а — г в качестве критерия оптимальности управления принимаем максимизацию дисконтированного

средневзвешенного душевого потребления в течение планового

периода Т.

т

J = J — е dt -> max,

0L

где 5=0,05—0,1 коэффициент дисконтирования, указывающий, что с возрастанием величины / степень важности потребления благ уменьшается в аспекте планирования в настоящий момент.

Теперь в виде соотношения п. а — д задача поставлена полностью.

Чтобы иметь возможность в дальнейшем сопоставлять уровни экономического развития больших и малых стран, перейдем в поставленной задаче к показателям на душу населения. Введем обозначения:

^ фондовооруженность на одного работающего; L

с = £. _ потребление на душу населения. L

Итак,

K=kL = kL0cnt; С = с^т.

— = — Utnt+kUntnt. dt dt4* ^

Соответственно ограничения п. а — г и функционал п. д преобразуются следующим образом:

а) уравнение процесса:

file

— + (я + i)k = (1 a)F0kacQt с; dt

б) ограничение на состояние:

k(t) > 0;

в) ограничение на управление:

0<c<(l-a)F0ka<?'

г) граничные условия:

А:(0) = *0; к(Т) = к{

д) функционал:

т

J =-Jce dt -» min. о

Условия п. а — д представляют задачу, линейную относительно управления с, с ограничениями на управление п. в.

Для построения «усов» y.j (t) (на рис. 4.2 и 4.3 соответствующие обозначения аД/), а2(Г), РД/), P2(f)) необходимо решить уравнение процесса п. а для вариантов

с = с{= 0 и с = с2 = (І-^/^еР'.

Если с = Ср получаем нелинейное дифференциальное уравнение Бернулли

+ (n + ii)k = (-a)F0eVka. <5-18) dt

Его линеаризация осуществляется посредством следующей подстановки:

,1-а_7. . _ ,1/1-а. dk _ 1 щ-сГ1 Ф _ 1 _al-gdz (5.19)

t/r 1-а dt 1-а t/r

Выражения (5.19) подставляем в уравнение (5.18) и после сокращения на zan~a получаем относительно / линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

+ (1 а)(п + i)z = (1 а)(1 a)F0epr. (5.20) dt

Общее решение неоднородного уравнения (5.20) zOH состоит из суммы общего решения однородного уравнения zOQ и частного решения неоднородного уравнения z4H:

*<ж = *оо+*,н(5-21)

Для нахождения общего решения однородного уравнения составляем характеристическое уравнение типа (1.7):

х+ (-а)(п + ц) = 0, (5.22)

откуда

х = (-а)(п + ц).

Общее решение однородного уравнения (5.21) имеет вид

где с, произвольная постоянная интегрирования.

В соответствии с видом правой части уравнения (5.20) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

гчн = ЛеР', <5-24>

где А — искомая величина, подлежащая определению.

Подставляем выражение (5.24) в уравнение (5.20), сокращаем слагаемые в левой и правой частях на ер/ и получаем

д_ (l-g)(l-fl)F0 (5.25) р + (1-а)(п + ц)'

Используя формулы (5.21), (5.23) (5.25), получаем общее решение неоднородного уравнения:

z(/) = ce(1_a)(n+fl)f | (l-a)(l-fl)^o ср/ (5.26)

1 p + (l-a)(/i + ji)

Согласно выражениям (5.19) и (5.26) формула для фондовооруженности имеет вид

£(r) = zl/l-a = [с е-(1-а)(/і+ц)/ + (1-СХ)(1-д)/Ч) £pf ji/i-a (5 27)

1 p + (l-a)(/i + ji)

Обратим внимание, что при / -> «> (асимптотическое поведение) при любом значении с, первое слагаемое в формуле (5.27) стремится к нулю, а второе к бесконечности. Из начального условия к(0) = к0 определяем с, и тем самым получаем уравнение кривой Yio(0Заметим, что аналитическое вычисление произвольной постоянной интегрирования с, вряд ли возможно, но численным методом сх можно рассчитать с приемлемой точностью.

Аналогичным образом с, определяем из конечного условия к(Т) = кх и тем самым получаем уравнение «уса» Уц(0Для построения «усов» у20(0 и y2I(/) подставим в уравнение процесса п. а

с= с2 = (-a)F0 AW

и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

^ + (« + й)А = 0. (5-28) dt

Его общее решение

*(0 = с3е-<я+«'. <529)

Значение произвольной постоянной с3 вычислим два раза, исходя из условий

к(0) = к0 и к(7) = к{у

при этом k(t) определяется по формуле (5.29). В конечном итоге будем иметь:

ї2о(0 = ^0е"(Л+и)г; Y2i =*іе(я+цХ7,'/)(5,30)

В результате, как показано на рис. 5.2, получим допустимую область значений k(t).

Теперь перейдем к построению функции R(t,k). Согласно формулам (4.35), (4.37) и условиям задачи п. а д имеем:

P = -(„+^)* + (l-a)F0*aep'; Q =-1; ^о=0; Qo=-e"5'Подставляя последние два выражения в формулу (4.43), получаем

(e) Q («О = [-(8 + п + і)к + (1 a)F0*aep' ]е~Ы.

Максимизация функции R(t,k) осуществляется по к при фиксированном значении t є (0,7), поэтому множитель е~б/> 0 при фиксированном значении t можно опустить и рассматривать функцию

Rx (t ,к) = -(8 + п + л)к + (1 a)F0*aep'. <5-32)

Формула (5.32) состоит из двух слагаемых:

линейной части

-(8 + n + i)k = R\

нелинейной части

(l-a)F0kacpt =Яр Их графики и сумма показаны на рис. 5.3.

В точке Ц = о. В ней достигается единственный

безусловный максимум функции Rx(tyk). Проведем соответствующие вычисления:

dR(t,k) Л, п ,

—= -(6+п + ц) + (1 a) F0 е р/ ак а~1 = О, ок

откуда

где р = 1-а.

£(Г)-[(8 + /| + 'А)е Р/]1/<*-1 _[(1-Д)^0а]1/Зсв'

(l-a)F0a 5 + п + ц

(5.33)

Определенную по формуле (5.33) функцию k(t) называют уравнением магистрали.

Магистраль — это такая зависимость k(t), по которой шло бы развитие фондовооруженности при отсутствии ограничений на душевое потребление. Согласно формуле (4.35) функция k{t) играет роль управления.

Магистраль представляет собой равномерный рост фондовооруженности с темпом р/р. В частности, если НТП отсутствует, т.е. р = 0, k(t) = const.

Определим, чему равно на магистрали управление (душевое потребление). Из уравнения процесса п. а имеем

с = (1 -a)F0*V — -(п + Ю*. <5-34)

dk

Подставляя в формулу (5.34) вместо к значение (5.33),

получаем

S + n+l & + n + l кэ.ээ)

_£[(1-^]1/р_(п+ц)[(1-£)^]1/Р}

P O + n+ll 8 + /2+Ц

Как видно из формулы (5.35), на магистрали относительное душевое потребление растет с тем же темпом р/р, что и фондовооруженность. Если р=0 (нет НТП), душевое потребление на магистрали с = const.

Зная магистраль, легко находим оптимальное решение — там, где она лежит внутри заштрихованной области (см. рис. 5.2). Если участок магистрали лежит вне заштрихованной области, то оптимальное решение проходит по ближайшей к магистрали границе. На рис. 5.4 оптимальное решение k*(t) показано жирной линией.

Аналитический вид функции /:*(/) задается формулой

у10(0, 0</<г,; ic(t), r,<r<r2; у21(0. t2<t<T.

(5.36)

Функция оптимального душевого потребления с*(0 имеет вид

с*(г) =

О, 0<г<г,;

с(0, h <t<t2

(l-<z)F0ep', t2<t<T.

(5.37)

Если магистраль проходит выше начального условия к0 и ниже конечного kv а именно этот случай содержательно наиболее интересен, то оптимальный режим управления экономикой заключается в следующем: сначала максимально развиваются производственные фонды (капитал), а потребление равно нулю, форсированно доходим до магистрали в момент Г,. Далее до момента t2 развитие идет по магистрали: с постоянным темпом (формула (5.34)) растут потребление и фондовооруженность. При t2< t < Т весь конечный продукт может тратиться на потребление. Читателю предлагается самостоятельно рассмотреть случаи к0>к(0)ик{ >к(Т).

Глядя на рис. 5.4, можно образно представить суть магистрали и магистрального функционирования экономики. Допустим, мы находимся в начальном пункте к0 и нам нужно на автомобиле переехать в конечный пункт к{. Неподалеку от к0 проходит автотрасса — аналог в данном случае магистрали. Мы оптимальным образом от к0 по местной дороге у10 доезжаем до автотрассы, далее в момент t{ выезжаем на магистраль и едем по ней до момента /2, после чего съезжаем с магистрали и по местной дороге у21 добираемся до конечного пункта к{. Эта интерпретация дает интуитивное представление об оптимальном развитии экономики.

Экспериментальные расчеты по оценке оптимального развития США за 22 года (1947-1968 гг.) на примерах внутренней частной и несельскохозяйственной экономики были проведены согласно изложенной методике и отражены в [12, разд. 6.3,

с. 151-199].

Результаты расчетов отличаются от реального развития экономики США за этот период, но на качественном уровне их можно считать приемлемыми. Расчетные данные оказались примерно в 2 раза более оптимистичными, чем фактические. Это объясняется, по-видимому, не вполне точным совпадением фактических и расчетных данных, касающихся принятых в модели показателей, прежде всего качественной оценки производственных функций и средств описания НТП.

Вопросы для самопроверки

Как определяется производственная функция (ПФ)?

Какие свойства имеет ПФ? Объясните их экономический смысл.

Что такое автономный научно-технический прогресс (НТП) и как он отражается в ПФ?

Каковы достоинства и недостатки автономного НТП?

В чем проявляется нелинейность рассмотренной в настоящем разделе задачи? Как она преодолевается?

Как определяется магистраль? Почему она так называется?

Каковы свойства развития экономики на магистрали?

Как представляется качественное развитие экономики при переключении режимов с ограничения на магистраль и обратно?

В чем, по вашему мнению, заключаются трудности использования на практике моделей магистрального типа?

10. По каким исходным данным строятся ПФ?