8.3. оптимальное планирование поставки продукции. непрерывный вариант. численное решение

8.3. оптимальное планирование поставки продукции. непрерывный вариант. численное решение

Продолжим исследование дискретной экономической задачи {см. разд. 8.2), поставив ее в режиме непрерывного управляемого процесса. Различия в математической модели и в применении принципа максимума Понтрягина (здесь это уже звучит точно) продемонстрируют на практике различия в технике реализации соответствующих вычислительных методов.

Пример 8.3. По аналогии с примером 8.2 для непрерывного процесса заданы: функционал

т

(8.39) 161

J = \[f(x(t)-г(0) + fiWWt + yj(х(Т)-r(T))-> min, <8-38) о

уравнение процесса

dx

начальное условие

*(0) = х0, (8.40)

необходимое условие оптимальности (сравните с формулой (8.27) для дискретных процессов)

w*(7,x,vj/) = argmax #(/,x,v|/,w). (8.41) и

Из условия (8.41) получаем систему уравнений принципа максимума

<Л|/_ ЭЯ(;,у(0,ц*)| (8.42) ^ И/лк(0,**(0)'

^ = u(tM0,W))x*(t)> (8,43)

х*(0) = Ло.у(Л = -^иг,(8Ж)

Функция Гамильтона для задачи (8.38) — (8.40) имеет вид, несколько отличающийся от многошагового варианта (формула 8.31)):

Я(Л х, у, w) = vj/w — /! (х г(0) /2 (и). (8'45) Так как на управление и нет ограничений, оно должно удовЭ /7

летворять требованию стационарности — = 0. С учетом форды

мулы (8.23) в этом случае получаем

|/-^= v|/-2 L2 =0,

du 2u* u*<0

откуда

«*(у) = -Г/Ч2; (8"46)

2ІМ//62; w*<0.

Принимая во внимание, что а2 > О, Ь2 > 0 и знаки функций и*(у) и |/ совпадают, выражение (8.46) можно переписать в более удобной для вычисления форме:

1 у/а2, > 0; и*(у) = ±Г 2' yw (8.47) 2[ч//£2, v|f(/)<0.

Осуществляя дифференцирование функции Гамильтона (8.45) с учетом формулы (8.22), получим сопряженное уравнение (8.42) в виде

dy(t) _2ax{x4t)-r{t)l **(/)* r(/); (g 4g)

dt №[x*(0-r(/)L **(0<r(0.

Уравнение процесса (8.43) с учетом выражения (8.47) преобразуем следующим образом:

dx*(0_l fy(Q/fl2, чЧО>0; Л 2[v(t)/b2, |/(/)<0.

Граничные условия (8.44) не зависят от характера процесса — дискретного или непрерывного, поэтому воспользуемся формулами (8.25) и (8.36) и получим:

х*(0) = х0; (8.50) *гП2W**(r>-r^ ^*(Г)>г(Г);

^ }" №^*(п-гсГ)і. ^(Г)<г(Г). (8-51)

Таким образом, процесс оптимизации сводится к решению двухточечной краевой задачи (8.48) — (8.51) для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (8.48) и (8.49).

Аналитическое решение этой системы невозможно по тем же причинам, что и решение системы конечно-разностных уравнений (8.33) и (8.35).

Используя метод численного интегрирования Эйлера для систем дифференциальных уравнений (см. главу 1, разд. 1.6), запишем уравнения (8.48) и (8.49) в виде системы конечно-разностных уравнений с шагом численного интегрирования At.

V(f_+ АО W) я 2 а [X * (О /40], * * (О > г(Г); (8 52)

At \[x*(t)-r(t)], х*(0</40;

X(t + At)-X(t) ^ 1 [y(Q/fl2. V(0^0;

АГ 2[у(0/*2, V(0^0.

Отсюда при достаточно малом значении At получаем:

ах[х *(0 r(0L х *(0 > /40; |/(f + A0 = Y(0 + 2Af L 8.54 l^[^*(0-r(/)L х*(0</40;

At Ы0'<*2> V(0^0; _

Х(/ + АО = Х(0 + — L 8.55

Соотношения (8.54) и (8.55) с точностью до перестановки в левой и правой частях отдельных слагаемых совпадают с содержательно эквивалентными формулами (8.33) и (8.35) для многошаговых процессов с той лишь разницей, что в этих формулах шаг вычислений составляет единицу, а в выражениях (8.54) и (8.55) шаг численного интегрирования равен At. Формулы (8.54) и (8.55) при любом сколько угодно малом, но конечном значении At имеют приближенный характер, вытекающий из

dy dx

замены производных — и ~т отношением конечных прираdt ш

Ах

щений At и —• Формулы (8.33) и (8.35) точные.

Для непрерывного варианта рассматриваемой задачи приближенный характер решения определяется численным интегрированием системы дифференциальных уравнений методом Эйлера и приближенностью выбора значения х(7). Для дискретного варианта (см. разд. 8.2) приближенный характер решения определяется только приближенностью выбора х(7).