9.4. оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программирования

9.4. оптимальное распределение инвестиций между проектами методом динамического программирования

Для задачи управления экономическими проектами, которую будем рассматривать ниже, метод динамического программирования Гамильтона—Якоби—Беллмана не является наиболее подходящим или единственно возможным. Наличие лишь одного линейного ограничения в математической модели, которое, как увидим, имеет место (не считая тривиальных ограничений на неотрицательность переменных), выдвигает практически очевидную возможность применения, например, метода множителей Лагранжа или любого другого метода математического программирования [2]. Метод Гамильтона—Якоби—Беллмана в данном случае играет иллюстративную роль, и мы, воспринимая это как факт, не будем обсуждать его целесообразность.

Итак, предположим, что руководство фирмы ставит задачу распределения некоторого фиксированного инвестиционного фонда между п направлениями, так чтобы максимизировать совокупную эффективность реализации этих инвестиций для фирмы (например, закупки нового оборудования разной эффективности у п поставщиков, / индекс поставщика).

Обозначим через уДу,) эффективность реализации для /-го инвестиционного проекта суммы у.. Например, это ожидаемое увеличение выпуска фирмой (в стоимостном или натуральном выражении) продукции при выделении суммы у. в /-є направление. Делаем естественное предположение, что все функции yyfy)

возрастающие, т.е. > О для V/ = 1,2,...,л при 0<у(<А. Другими

Ля-словами, при увеличении инвестиций в реальных пределах эффективность от их реализации возрастает. Это, в свою очередь, позволяет сделать вывод, что весь инвестиционный фонд А в оптимальном плане распределения инвестиций между направлениями должен быть исчерпан.

План распределения инвестиций между-направлениями отвечает математической модели

п

£¥і(л)->тах /=1

(9.34)

при ограничениях

у і >0, / = 1,2,..., л.

(9.35) (9.36)

Модель (9.34) — (9.36) в общем случае (при нелинейных функциях у^)) представляет нелинейную задачу математического программирования. Функционал (9.34) предполагается аддитивным, т.е. эффективность каждого из инвестиционных проектов зависит только от вложенных в него средств и не зависит от других распределений. В силу указанных выше причин сведем задачу к многошаговому управляемому процессу и применим для оптимизации метод динамического программирования. Для случая п = 3 полностью проведем вычислительный процесс.

Чтобы свести модель (9.34) — (9.36) к форме многошагового процесса (см. разд. 9.3), введем обозначения:

п = 7,г = і -1, Уі = u(t), уДя) = -/°(г.и(0). (9 37)

i = l,2...,#i, г = 0,1

С учетом обозначений (9.37) модель (9.34) (9.36) примет

вид

(9.38)

2>(') = А;

(9.39)

м(0>0, / = 0,1,...,7-1

(9.40)

Покажем, что задача оптимизации для модели (9.38) (9.40) может быть сведена к задаче, рассмотренной в разд. 9.3.

Для этого введем функцию x(t), которую определим следующим образом:

х(0) = 0; x(t + 1) = x(t) + u(t), /=0,1,..., Т 1.

При этом ограничение (9.39) примет вид х(Т) = А. Освободимся от него, введя в функционал (9.34) штрафной терминальный член M[x(t)—A]2, где М > 0 произвольно большое число. Получаем окончательную форму необходимой модели:

(9.41)

Введение в функционал в качестве терминального члена положительного слагаемого, отвечающего квадрату невязки между х(Т) и А с произвольным положительным сколько угодно большим множителем М, — это вынужденное действие, обусловленное необходимостью отсутствия конечного условия х(Т) = А.

Модель (9.41) отвечает канонической форме многошагового управляемого процесса. Здесь x{i) состояние системы, u(t) -управление. Содержательный смысл этих показателей будет ясен в результате анализа полученных и представленных ниже оптимальных решений.

Для модели (9.41) запишем уравнение Беллмана с краевым условием:

(р(/, х) = max [ф(/ +1, х + и) /° (/,и)];

/ = 0,1

<р(Т,х) = -М(х-А)2,

(9.42)

откуда оптимальное управление в форме синтеза

м *(/,*) = arg max [ф(/ + 1,х + м)/ (Mi)].

Вычисления проведем для случая я = 3, Л = 10. Примем

(9.43)

¥і(Л) = 16и-0,4Л2; У20ъ) = 18у2-0,6у|; Уз(Уз) = 25Уз-0.7Уз-С учетом обозначений (9.37) получаем

Т= п = 3;

/и(',к) =

-16м + 0,4м ,/ = 0; -18w + 0,6w2,/ = l; -25w + 0,7w2,/ = 2.

(9.44)

Далее следуют вычислительные процедуры, принципиально подобные итеративному процессу в примере 9.2. Первая итерация (t + 1 = 3, t = 2). В соответствии с условиями (9.42) и (9.44) имеем

ф(2,х) = max [-М(х + м-10)2+25м-0,7м2]. и>0

Так как М > 0 — произвольное сколько угодно большое число, м*(2, х) должно обратить множитель при Мв нуль, т.е.

и*(2, х) = 10 X. (9.45)

При этом

Ф(2, jc) = 25 (10 — jc) — 0,7 (10 х)2.

Вторая итерация (f+l=2, f=l).

В соответствии с условиями (9.42) и (9.44) получаем

ф(1, х) = max [25(10 х и) 0,7(10 х и)2 +18м -0, ви2 ] = и>0

= тах (-1,3м2 +1и-Ахи + ...).

м>0

(9.46)

Здесь многоточие относится ко всем остальным слагаемым, не зависящим от аргумента максимизации и. Осуществляя максимизацию выражения (9.46) случай параболы, ориентированной ветвями вниз (см. разд. 1.3), получаем

f2,69-0,539л:; л<5; /Q А1Л

и*(1,л) = <9-47) [О; л>5.

Подстановка выражения (9.47) в формулу (9.46) с учетом приведения подобных членов дает

-0,324л-2-14,66л-+ 189,4, л<5;

<P(U)= 9

[-0,7л2-11л+ 180, л>5.

Третья итерация (t + 1 = 1, ґ = 0):

[-0,324(л + м)2-14,66(л +w) +189,4 +16 w-0,4 м2, л + м<5; ф(0,л) = тах

и>0 [Ч),7(л + м) -11(л + м) + 180 + 16м-0,4м2, л + м>5.

После приведения подобных получаем

[-0,724и2 +1,34м-0,648ли + ..., м<5-л; ф(0,л) = тах (9.48)

и>0 [-1,1м2 + 5м-1,4лм + ..., м>5-л.

Применительно к обоим вариантам формулы (9.48), осуществляя максимизацию по и функций как парабол (см. разд. 1.3), ориентированных ветвями вниз, получим

и*(0х)-^925-°Мх' °^2'06' (9.49) 10; 2,06<jc<5;

и*(0, х) = 5 х 0 < х < 5. (9.50)

Вывод формул (9.49) и (9.50), исходя из формулы (9.48), читателю предлагается выполнить самостоятельно.

В результате получим два оптимальных варианта распределения инвестиционных ресурсов по направлениям их вложений:

1) основывается последовательно на формулах (9.49), (9.47), (9.45):

и * (0) = и * (0, jc) |^=о = 0,925 = У];

х * (1) = х * (0) + и * (0) = 0 + 0,925 = 0,925;

и * (1) = и * (1, х) l^oe^ = 2,69 0,539 • 0,925 = 2,19 = у2; jc*(2) = ;с*(1) + м*(1) = 0,925 + 2,19 = 3,115;

и * (2) = и * (2, jc) Х*=ЗА!5 = 10 3,115 = 6,885 = у3;

2) основывается последовательно на формулах (9.50), (9.47), (9.45):

и*(0) = и*(0,дг) |^=о= 5 = л; jc*(1) = jc*(0) + w*(0) = 0 + 5 = 5;

= m*(1,jc) |Л*=5=0= (9-52>

jc * (2) = jc * (1) + w * (1) = 5 + 0 = 5;

и *(2) = u *(2,jc) 10-5 = 5 = .у3.

Распределение инвестиционных ресурсов существенно разное: в первом варианте согласно результатам (9.51) ресурсы нужно распределять по всем трем направлениям: yv у2 и у3, но в разных количествах — больше всего по третьему направлению; во втором варианте — только по первому и третьему направлениям поровну: ух = у3 = 5.

Функционал (9.34) в обоих проектах равен 186. Таким образом, решение может быть не единственным. Как поступить в подобном случае на практике? Первое и самое простое — выбрать один из инвестиционных проектов наудачу. Второе — учесть дополнительные условия, которые в исходной модели (9.34) -(9.36) в ее простейшем варианте не принимались во внимание. Эти дополнительные условия могут решить судьбу вариантов — первого или второго.