53. двухфакторная производственная функция солоу

53. двухфакторная производственная функция солоу

Помимо двухфакторной производственной функции Кобба-Дугласа, одной из наиболее часто используемых двухфакторных функций является производственная функция, предложенная американским учёным Солоу в 1956 г.

Общий вид двухфакторной производственной функции Солоу:

где Q – объём выпущенной продукции (в стоимостном или натуральном выражении);

K – объём основного капитала или основных фондов;

L – объём трудовых ресурсов или трудовых затрат (измеряемое количеством рабочих или количеством человеко-дней).

A,β,a – неизвестные числовые параметры или технологические характеристики производственной функции, которые подчиняются условиям:

1) 0≤а≤1

2) A›0;

3) β›0.

По сравнению с двухфакторной производственной функцией Кобба-Дугласа производственная функция Солоу имеет много преимуществ.

Для функции Солоу является справедливым правило эффекта от масштаба производства, т. е. она является однородной относительно переменных.

Докажем данное утверждение. Пусть объём основного капитала изменился на величину nK, а объём трудовых затрат увеличился на величину nL. Рассчитаем величину изменения объёма производства для функции двухфакторной производственной Солоу:

Данное равенство означает, что с ростом факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также возрастает в n раз (если справедливо неравенство n›1). С уменьшением факторных переменных K и L в n раз объём произведённой продукции Q также снижается в n раз (если справедливо неравенство 0‹n‹1).

Если одна из факторных переменных производственной функции Солоу равна нулю, например, K=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависеть от изменения объёма второй факторной переменной, т. е. затрат труда L. И, наоборот, если L=0, то изменение объёма производства Q будет линейно зависит от изменения затрат основного капитала К.

Если одну из факторных переменных, например, затраты основного капитала K зафиксировать на уровне K0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной затрат труда L. Если же зафиксировать факторную переменную затрат труда L на уровне L0, то объем произведённой продукции Q будет увеличиваться с ростом второй факторной переменной К.

Докажем данное утверждение. Рассчитаем показатель предельной производительности факторной переменной затрат труда L:

Следовательно, предельная производительность факторной переменной L всегда больше нуля.

Аналогично доказывается, что предельная производительность второй факторной переменной объёма основных фондов К также больше нуля, что говорит о росте объёма произведённой продукции Q с ростом факторной переменной К и при фиксированном значении факторной переменной L.

Изоквантой для двухфакторной производственной функции Солоу называется кривая, которая характеризуется равенством β(K,L)=const.

Для производственной функции Солоу можно рассчитать показатели эластичности:

1) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной К рассчитывается по формуле:

2) частный коэффициент эластичности функции Солоу по факторной переменной L рассчитывается по формуле:

54. Многофакторные производственные функции

Многофакторной производственной функцией называется функция, которая характеризует зависимость объёма производства от n-го количества факторов производства.

y=f(xi),

где

Многофакторные производственные функции полезны тем, что на их основе можно рассчитать целый ряд важнейших экономических показателей.

К основным показателям многофакторных производственных функций относятся:

1) показатель средней производительности (эффективности, отдачи) i-го фактора при условии фиксированности всех остальных факторов:

2) показатель предельной производительности (эффективности, отдачи) i-го фактора, который характеризует приращение объёма производства на единицу приращения i-го фактора, рассчитывается как частная производная по факторной переменной xi:

3) для определения характера изменения предельной производительности с изменением объёма i-го фактора при постоянном значении всех остальных факторов, включённых в модель, рассчитывается частная производная второго порядка по факторной переменной xi:

Если показатель

больше нуля, то предельная производительность возрастает с ростом объёма i-ой факторной переменной.

Если показатель

равен нулю, то можно найти такое значение объёма i-ой факторной переменной, при котором предельная производительность будет или минимальной или максимальной.

4) показатель частной эластичности i-го ресурса для многофакторной производственной функции характеризует относительное изменение результата производства на единицу относительного изменения i-ой факторной переменной:

5) потребность производства в i-том факторе выражается через функциональную зависимость вида:

xi=φ(y,x1…xi-1,xi+1…xn).

6) для любой пары факторов производства i и j можно рассчитать предельную норму замещения j-ой факторной переменной i-той факторной переменной. Эта норма равна взятому со знаком минус отношению показателей предельной производительности i-ой и j-ой факторных переменных:

При выборе конкретного вида производственной функции исследователь должен руководствоваться закономерностями изменения всех рассмотренных показателей. В некоторых случаях выбранную форму производственной функции приходится отвергать, потому что соответствующая ей система показателей противоречит результатам качественного анализа или эмпирическим данным. С другой стороны предварительные заключения о характере изменений рассмотренных показателей могут стать основным доводом в пользу выбора той или иной формы производственной функции.