4.7. тестирование на наличиеавтокорреляции первого порядка

4.7. тестирование на наличиеавтокорреляции первого порядка

Если р = 0, то никакой автокорреляции не существует, и МНК-оценка является НЛНО. Если р ф О, то выводы, основанные на МНК-оценках, будут вводить в заблуждение, поскольку их стан-

дартные ошибки будут вычисляться по неправильной формуле. Поэтому общая практика с данными временного ряда заключается в том, чтобы протестировать наличие автокорреляции в регрессионных остатках. Предположим, что нас интересует проверка нулевой гипотезы Но : р = 0 против альтернативной гипотезы Н : р ф 0 (или односторонней альтернативы). Мы представим несколько тестов для модели (4.47) с предположением (4.48). Первые два теста относительно просты, но справедливы только асимптотически, тогда как последний тест имеет известное распределение при малых выборках.

4.7.1. Асимптотические тесты

При соответствующих предположениях (включая р < 1) можно показать, что

то есть функция оценивания р состоятельна и асимптотически нормальна. Таким образом, в конечных выборках приближенно справедливо, что р имеет нормальное распределение со средним значением р и дисперсией (1 — р2)/Т. Таким образом

Ут(р-р)

z — —.

приближенно имеет стандартное нормальное распределение. Если гипотеза Но верна, то мы имеем, что

z = VTp (4.57)

приближенно имеет стандартное нормальное распределение, и мы можем использовать z в качестве критической статистики. Следовательно, на 5\%-ом уровне значимости, мы отклоняем гипотезу Но (против альтернативной гипотезы Н), если |л/Тр| > 1,96.

Альтернативную, критическую статистику можно вычислить, снова рассматривая регрессию МНК-оцененных остатков et по их лагам et-. Если мы возьмем R2 такой регрессии и умножим его на эффективное число наблюдений Г — 1, то мы получим критическую статистику, которая, при нулевой гипотезе, имеет \%2-распределение с одной степенью свободы. Ясно, что R2 близкий к нулю в этой регрессии подразумевает, что лагированные остатки не объясняют текущие остатки, и простой способ тестирования гипотезы р — 0 состоит в вычислении значения (Г — 1)R2. Этот тест является частным случаем теста Бреуша—Годфри (Breusch, 1978; Godfrey, 1978) и множителей

Лагранжа (см. главу 6), и легко распространяется на более высокие порядки автокорреляции (включением дополнительных лагов остатка и соответствующей корректировкой степеней свободы) и на модели, которые включают лагированные зависимые переменные (включением регрессоров xt во вспомогательную регрессию).

Заметим, что оба эти теста являются асимптотическими тестами и асимптотическая аппроксимация, возможно, не очень хороша для малого числа наблюдений Г. Альтернативным тестом, основанным на теории малых выборок, является тест Дарбина—Уотсона.

4.7.2. Тест Дарбина—Уотсона

Одним из самых популярных тестов в эконометрике является тест Дарбина—Уотсона (Durbin, Watson, 1950). Два важных предположения, лежащие в основе этого теста, состоят в том, что мы можем рассматривать xt-ые как детерминированные и что Xt содержит свободный член. Первое предположение является важным, поскольку оно требует, чтобы все регрессионные остатки были независимы от всех объясняющих переменных (предположение (А2)). Наиболее важно, что это исключает включение лагированных зависимых переменных в модель.

Тестовая статистика Дарбина—Уотсона задается как

т

E(e*-e*-i)2

dw =

t=2

(4.58)

где et — МНК-оцененный остаток (отметим разное индексирование в суммированиях). Написав

т

t=2

(et-et-i)2 =

t=l

т

2 ]Г etet

t=2

Т+1

-і + ]Г е\_х t=2

Р2

мы можем написать

dw = 2-2p

t=2 Т

2 -2р.

(4.59)

Ее?

t=i

Знак « в выражении (4.59) обусловлен тем фактом, что при больших Т первый член в скобках стремится к единице, тогда как второй член в скобках стремится к нулю. Отсюда мы можем получить альтернативную оценку для коэффициента р в виде

p=l-±dw, (4.60)

которая также является состоятельной оценкой.

При нулевой гипотезе — нет никакой автокорреляции (р — 0), можно показать, что распределение dw должно быть симметричным около 2. Поэтому, если dw близко к двум, то это указывает что коэффициент р близок к нулю. Если dw «намного меньше» чем 2, то это признак положительной автокорреляции (р > 0); если dw является намного больше 2, тогда р < 0. Даже при нулевой гипотезе Но : р = 0 распределение dw зависит не только от объема выборки Т и числа переменных К в векторе объясняющих переменных xt но также и от фактических значений xt-x. Следовательно, критические значения нельзя свести в таблицу для общего применения. К счастью, возможно, вычислить верхние и нижние границы для критических значений dw, которые зависят только от объема выборки Т и числа переменных К в векторе xt. Эти значения, d^ и djj, были сведены в таблицу Дарбином и Уотсоном (Durbin, Watson, 1950) и Севиным и Уайтом (Savin, White, 1977), и частично воспроизведены в таблице 4.8. Истинное критическое значение dcrit находится между границами, которые сведены в таблицу, то есть db < dcra < djj. При нулевой гипотезе Hq мы, таким образом, имеем, что (на 5\%-ом уровне значимости)

P{dw < dL} < P{dw < dcrit} = 0,05 < P{dw < dv}.

Для одностороннего теста против положительной автокорреляции (р > 0) существуют три возможности для тестовой статистики dw :

а. dw меньше нижней границы dbВ этом случае тестовая статистика конечно ниже истинного критического значения dcrit и

поэтому нулевую гипотезу Hq следует отклонить;

б. dw больше верхней границы djj. В этом случае тестовая статистика конечно больше dCTit и нулевую гипотезу Но отклонять

не следует;

в. dw находится между нижней границей db и верхней границей

djj. В этом случае тестовая статистика может быть больше

или меньше критического значения. Поскольку ничего сказать

нельзя, то нет возможности принять или отклонить нулевую

гипотезу НоЭто так называемая «область неопределенности».

Чем больше объем выборки, тем меньше область неопределенности. Для К — 5 и Т = 25 мы имеем dL.$\% = 1,038 и djj.^\% = 1,767; для Т — 100 эти числа равны 1,592 и 1,758.

В случае в ничего нельзя сделать. Существуют некоторые возможные аппроксимации, которые обсуждены Джаджем и др. (Judge et al., 1988, pp. 398-399), но на практике их применение сложно. К счастью, некоторые компьютерные пакеты, как, например, SHAZAM, предоставляют точные критические значения, вычисленные численно. Несмотря на его неудобства, тест Дарбина—Уотсона является одним из тестов, наиболее часто применяемых на практике: его применение основано на распределениях малых выборок, хотя в некоторых случаях результат может быть «неопределенным».

В менее общем случае, в котором альтернативная гипотеза состоит в наличии отрицательной автокорреляции (р < 0), симметрия распределения тестовой статистики dw (около 2) подразумевает, что истинное критическое значение находится между 4 — djj и 4 — db, так что никакие дополнительные таблицы не требуются.

4.8. Пример: спрос на мороженное

Этот эмпирический пример основан на одной из основополагающих статей относительно автокорреляции, а именно на статье Хилдреса и Лу (Hildreth, Lu, 1960). Данные, используемые в этом исследовании,

являются данными временного ряда с тридцатью четырмя недельными наблюдениями за период с 18 марта 1951г. по 11 июля 1953 г. относительно следующих переменных10):

cons: потребление мороженого на душу (в пинтах);

income: усредненный семейный доход в неделю (в долларах

США);

price: цена мороженого (за пинту);

temp: усредненная температура (в градусах Фаренгейта).

Графическая иллюстрация данных представлена на рисунке 4.2, где мы видим отображения временных рядов потребления, цены и температуры (деленной на 100). Из графика ясно видно, что температура является важной объясняющей переменной для потребления мороженого, которая подтверждает наши ожидания.

Модель, используемая для объяснения потребления мороженого, является линейной моделью регрессии с объясняющими пе 

а price

о cons

□ temp 1000

.2 "

0

время

Рисунок 4.2. Потребление мороженного, цена и температура (деленная на 100)

10) Данные доступны в ICECREAM.

.8 ременными: income, price и temp. Результаты применения МНК для первой регрессии представлены в таблице 4.9. Несмотря на то, что оценки коэффициентов имеют ожидаемые знаки, вычисленная статистика Дарбина—Уотсона равна 1,0212. Для одностороннего теста Дарбина—Уотсона при нулевой гипотезе Но : /9 = 0, против альтернативной гипотезы положительной автокорреляции на 5\%-ом уровне значимости (а — 0,05) мы имеем, что db = 1,21 (Г = 30, К — 4) и djj — 1,65. Значение 1,02 ясно подразумевает, что нулевую гипотезу против альтернативы положительной автокорреляции следует отклонить. Когда мы построили график, представленный на рисунке 4.3, истинных значений переменной cons и ее значений, «подогнанных» моделью, то мы увидели, что за положительными (отрицательными) значениями остатков, более вероятно, следуют положительные (отрицательные) значения. Очевидно, что включение переменной temp в модель недостаточно, чтобы уловить сезонную флуктуацию в потреблении мороженого.

Коэффициент автокорреляции первого порядка в соотношении

St = pet-i + Vt

легко оценивается с помощью сохранения оцененных остатков от предыдущей регрессии и построения МНК-регрессии et по et-i (без константы) п что приводит к оценке р — 0,401 с R2 равным 0,149. Асимптотический тест для проверки нулевой гипотезы Но : р = 0

Нет никакой потребности включать константу, потому что среднее значение МНК-оцененных остатков равно нулю.

против альтернативной гипотезы автокорреляции первого порядка основан на критической статистике VTp = 2,19. Значение критической статистики больше чем 5\%-ое критическое значение из стандартного нормального распределения, равное 1,96, поэтому опять нам следует отклонить нулевую гипотезу отсутствия сериальной корреляции. Критерий Бреуша—Годфри приводит к критической статистике (Т — 1)R2 = 4,32, значение которой превышает 5\%-ое критическое значение 3,84 из распределения хи-квадрат с одной степенью свободы.

Эти отклонения нулевой гипотезы означают, что МНК-оценка больше не является наилучшей линейной несмещенной оценкой для вектора параметров /3, и что наиболее важно, рутинно вычисляемые стандартные ошибки некорректны. Можно сделать корректные и более точные утверждения об эластичности относительно цены мороженого, если мы выберем более эффективный метод оценивания, как, например, РОМНК. Итерационный метод Кохрейна—Оркатта приводит к результатам, представленным в таблице 4.10. Отметим, что результаты РОМНК подтверждают наши более ранние результаты, которые указывают, что доход и температура являют

ся важными объясняющими переменными в функции потребления. Следует подчеркнуть, что статистические данные в таблице 4.10, которые обозначены звездочкой, соответствуют преобразованной модели и непосредственно не сопоставимы с их аналогами в таблице 4.9, которые отражают не преобразованную модель. Это также справедливо для статистики Дарбина—Уотсона, которая больше неуместна в таблице 4.10.

Как упоминалось ранее, наличие автокорреляции может быть признаком того, что модель в чем-то некорректна, например, некорректен функциональный вид или динамическая спецификация. Возможным способом устранения проблемы автокорреляции является изменение спецификации модели. По-видимому, естественно рассмотреть включение в модель одной или более лагированных переменных. В частности мы включим в модель лагированную температуру tempt-iПрименение МНК к этой расширенной модели приводит к результатам, представленным в таблице 4.11.

По сравнению с результатами из таблицы 4.9 критическая статистика Дарбина—Уотсона возросла до значения 1,58, которое теперь находится в области неопределенности (а = 0,05), заданной интервалом (1,14; 1,74). Поскольку это значение находится довольно близко к верхней границе, мы можем предпочесть не отклонять нулевую гипотезу отсутствия автокорреляции. Из таблицы видно, что лагированная температура имеет значимое отрицательное влияние

на потребление мороженого, в то время как текущая температура имеет положительный эффект. Это может указывать на увеличение спроса на мороженное при повышении температуры, которое не было полностью потреблено, и снижение расходов одним тактом времени позже ;.