4.10. что делать, когда вы находите автокорреляцию?

4.10. что делать, когда вы находите автокорреляцию?

Во многих случаях обнаружение автокорреляции является свидетельством неправильно специфицированной модели. Если дело обстоит так, то самый естественный способ состоит в том, что не следует изменять вашу оценку (МНК на РОМНК), а следует изменить вашу модель. Как правило, три (взаимосвязанных) типа неправильной спецификации могут привести к обнаружению автокорреляции в ваших МНК-оцененных остатках: динамическая неправильная спецификация, не включенные объясняющие переменные и неправильная спецификация функционального вида уравнения регрессии.

В этом определении общего процесса скользящего среднего первого порядка (СС(1)) есть формальная логическая «нестыковка». В приведенном выше примере, который автор характеризует как «ограниченную версию» процесса СС(1), значение параметра а = 1, а в определении общего процесса СС(1) есть требование |а| < 1. В действительности, последнее требование лишь обеспечивает так называемую обратимость процесса СС(1) и не является обязательным для обеспечения стационарности этого процесса, — подробнее об этом см. гл. 8 (примеч. научн. ред. перевода).

Если мы отходим от случая, где остаток независим от всех объясняющих переменных, то существует другая причина, почему ОМНК или РОМНК могут быть неприемлемыми. В частности, воз-

можно, что ОМНК-оценка является несостоятельной, поскольку преобразованная модель не удовлетворяет минимальным требованиям состоятельности для МНК-оценки. Эта ситуация может возникнуть, даже если МНК-оценки, примененные к исходному уравнению, обладают свойством состоятельности. В параграфе 4.11 приводится эмпирический пример такой ситуации.

4,10.1. Неправильная спецификация

Начнем с неправильной спецификации функционального вида. Предположим, что истинное линейное соотношение между переменными yt и log xt имеет вид

Vt=Pl+ Р2 bg Xt + St

и предположим в иллюстративных целях, что переменная Xt возрастает с ростом t. Если бы мы объясняли поведение yt с помощью линейной модели от xt, то мы могли бы прийти к ситуации, которая изображена на рисунке 4.4. На этом рисунке, основанном на смоделированных данных с xt — t и yt = 0,5 log xt плюс малый случайный остаток, «подогнанные» значения модели лежат на прямой линии, тогда как фактические значения представлены точками. Ясно, что остатки с одинаковым знаком группируются вместе. Статистика Дарбина—Уотсона для этого примера равна всего 0,193. В этом случае решение не состоит в том, чтобы повторно оценить линейную модель, используя РОМНК-оценку, а в том, чтобы изменить функциональный вид и включить в правую часть модели log Xt, а не xt.

Как обсуждалось выше, невключение существенной объясняющей переменной может также привести к возникновению автокорреляции в остатках. Например, в параграфе 4.8 мы видели, что исключение переменных, которые отражают сезонную вариацию потребления мороженого, привело к такому случаю. Подобным образом некорректная динамическая спецификация может привести к наличию автокорреляции. В таких случаях мы должны решить, должна ли интересующая нас модель быть статической или динамической моделью. Чтобы проиллюстрировать это, начнем со (статической) модели

yt = x't/3 + et (4.66)

с автокорреляцией первого порядка St = pet-i + vt• Мы можем интерпретировать вышеприведенную модель как описание E{ytxt} — х[/3. Однако нас также может интересовать прогнозирование на основе текущих значений вектора xt, а также на основе значений лагиро-ванных наблюдений по Xt-i и уг-ь то есть E{ytxt, xt-i^ Vt-i}Для вышеприведенной модели мы получаем

E{ytxu xt-i, j/t-i} = x'tP + рЫ-i ~ xi-iP) (4-67)

и мы можем написать динамическую модель в виде

yt = х'ф + рх\_ф + щ, (4.68)

остатки которой не показывают никакой автокорреляции. Модель (4.68) показывает, что включение лагированной зависимой переменной и лагированных экзогенных переменных, приводит к спецификации, которая не исключает автокорреляцию в остатках. Наоборот мы можем найти автокорреляцию в модели (4.66), если динамическая спецификация подобна модели (4.68), но включает, например, только лагированную зависимую переменную yt-i или только некоторые из лагированных объясняющих переменных вектора xt-. В таких случаях включение этих «пропущенных» переменных решит проблему автокорреляции.

Статическая модель (4.66) с автокорреляцией первого порядка предоставляет нам E{ytxt}, а также динамический прогноз E{ytxt, xt-i) J/t-i}, и может быть более экономной по сравнению с полной динамической моделью с несколькими включенными лаги-рованными переменными (при отсутствии ограничений на глубину лагов). Вопрос заключается в выборе, интересуемся ли мы E{ytxt} или E{ytxt, xt-i Уг-і}, или тем и другим. Например, объяснение заработной платы человека его заработной платой в предыдущем году может быть довольно легким, но может и не дать ответы на вопросы, которыми мы интересуемся. Тем не менее, во многих приложениях включение лагированной зависимой переменной в модель \% устранит проблему автокорреляции. Следует подчеркнуть, что тест Дарбина—Уотсона неприемлем для модели, в которой присутствует лагированная зависимая переменная. В разделе 5.2.1 особое внимание уделяется моделям как с автокорреляцией, так и с лагированной зависимой переменной.

4. 70.2. Состоятельные стандартные ошибки МНК-оценок, учитывающие гетероскедастичность и автокорреляцию

Снова рассмотрим нашу основную модель

yt=x't/3 + eu (4.69)

где члены ошибок St подвержены автокорреляции. Если эта модель нас интересует, например, потому что мы хотим узнать условное математическое ожидание зависимой переменной yt при условии хорошо-специфицированного вектора объясняющих переменных xt, то мы можем использовать ОМНК-оценки или обычные МНК-оценки, но последние — с обязательной коррекцией их стандартных ошибок. Этот последний подход особенно полезен, если можно доказать, что корреляция между остатками St и St-S (фактически) равна нулю, начиная с некоторой глубины лага Н, и/или когда условия состоятельности ОМНК-оценок оказались нарушены.

Если £{ад} = 0и E{etet-S} = 0 для s = Я, Н+1,... , то МНК-оценка Ъ вектора параметров (5 состоятельна, и ее ковариационную матрицу можно оценить как

= (І>*0 ХТ&(у,ХгА (4.70)

где

^ Т ^ Я-1 т

S*= j, 52etXtXt + f 52 Wi 52 Cses-jiXsXs-j+Xs-jX's). (4.71)

t=l j=l s=j+l

Заметим, что если Wj = О, то мы получим ковариационную матрицу Уайта, которая рассматривалась в п. 4.3.4, так что выражение (4.70) является обобщением. В стандартном случае w3; = 1, что может привести к оцененной ковариационной матрице для конечных выборок, которая не является положительно определенной. Чтобы предотвратить такой случай, обычно используют веса Бартлетта, которые предложены Невье и Вестом (Newey, Wast, 1987). Эти веса с возрастанием j, убывают линейно как Wj = 1 — j/H. Применение такого множества весов сопоставимо с идеей, что воздействие автокорреляции порядка j убывает с ростом Стандартные ошибки, вычисленные с помощью выражения (4.70), называются состоятельными стандартными ошибками с учетом гетероскедастичности и автокорреляции (СГА) или просто стандартные ошибки в форме Невье—Веста. Иногда стандартные ошибки СГА применяются также, когда автокорреляция, строго говоря, не ограничена Н лагами, например, с авторегрессионной структурой. Теоретически это можно оправдать, применяя асимптотическое доказательство, что Н возрастает с Т при Г стремящемся к бесконечности (но Н возрастает не так быстро как Г). Возможно, что эмпирически для малых выборок асимптотика очень хорошо не работает.

Чтобы интуитивно почувствовать выражение (4.71), поучительно заметить, что S* является оценкой для асимптотической ковариационной матрицы выборочного среднего

(сравните с доказательством (2.33) в главе 2). Предположим, что St был бы наблюдаемым, тогда можно думать об оценивании этой ковариационной матрицы в виде

^ 52е*е*х*х'в1

s,t

где суммирование проводится по всем соответствующим элементам (симметрично по s и t). Эта оценка фактически несостоятельна, поскольку, например, ковариация между хЄі и хт^т оценивается лишь по одной выборочной точке данных. Этим объясняется, почему мы должны ограничить структуру автокорреляции. При нулевой автокорреляции при длине лагирования Я или более, суммирование проводится только по |s — t < Н — 1,и вышеприведенная функция оценивания становится состоятельной.

Веса Бартлетта гарантируют, что для каждой выборки оценка 5* является положительно определенной. Это можно понять, посмотрев на ковариационную матрицу «краткосрочной» суммы

Я-1

xt-j£t-j,

3=0

которая имеет вид

г я-1 . VI xt-J£t-j = HE{e2txtx't} + ^ з=о )

+ (Я 1) [Eietet-ixtx't^} + Efa-xetxt-ix't}] + ...+ + [E{etet-H+iXtx't_H+l} + E{et-H+ietXt-H+ix't}] =

Я-1 , . ч

= Н £ (1 " Jj ) [Eietet-jXtx'^} + E{et4etxt4xft}}. з=о ^ '

Эта ковариационная матрица является положительно определенной по построению. Деление на Я, а также замена операторов математического ожидания выборочными средними и замена остатков St на остатки et, приводит к матрице 5*. Поскольку для одной выборки существует только одно выборочное среднее

' t=i

(|р)х>-і*то мы оцениваем его дисперсию, рассматривая внутривыборочную дисперсию «краткосрочных» динамических средних

Я-1

xt-j£t-3)

и делим ее на объем выборки Г. Поскольку матрицей 5* оценивается асимптотическая ковариационная матрица, то есть ковариационная матрица для VT умноженного на выборочное среднее, то этот множитель (1/Т) в выражении (4.71) вновь исчезает. Отметим, что при отсутствии автокорреляции мы могли бы оценить дисперсию выборочного среднего как выборочную дисперсию Xt£t, деленную на Г. И, наконец, факт замены в оценке ненаблюдаемых остатков St МНК-оцененными остатками et не имеет никаких асимптотических последствий.

4.11. Пример: рисковая премия на валютных рынках

Трейдер, заказывающий товар за границей, за который следует произвести оплату в некоторый более поздний срок (на некоторую дату), может делать свои необходимые платежи по-разному. В качестве примера рассмотрим немецкого трейдера, который в конце текущего месяца оформляет счет на поставку определенного количества кофе на сумму 100 000 долларов США, который он должен оплатить в конце следующего месяца. Первая стратегия оплаты счета состоит в том, чтобы купить доллары в настоящее время и держать их на депозите до конца следующего месяца. Такая стратегия имеет очевидное последствие. Трейдер не получит немецкую (одномесячную) процентную ставку за этот месяц, а получит процентную ставку США (предполагая, что он держит долларовую сумму на американском депозите в течение месяца). Вторая стратегия состоит в том, чтобы купить доллары на так называемом форвардном рынке. Там определена цена (обменный курс), которую следует заплатить за доллары при их поставке в конце следующего месяца. Эта форвардная ставка согласована в текущем периоде и должна быть заплачена за доллары при их поставке (через месяц). Предполагая, что форвардный контракт является безрисковым (игнорирующий риск по умолчанию, который обычно является очень малым), трейдер будет индифферентен в выборе из этих двух стратегий. Обе возможности не несут риска, и поэтому ожидается, что обе стратегии приводят к одинаковой доходности в конце следующего месяца. В противном случае арбитражные возможности привели бы к безрисковой прибыли. Подразумеваемое равенство разницы процентных ставок (немецкой и американской) и разницы между форвардной ставкой и спот-ставкой известно как условие паритета покрытых процентных ставок (ПППС).

Третья возможность трейдера оплатить счет в долларах просто состоит в ожидании конца следующего месяца, а затем в покупке долларов США по еще неизвестному обменному курсу. Если делается обычное предположение, что трейдер не расположен к риску, то для него привлекательно взять на себя только дополнительный риск обменного курса, если только можно ожидать, что будущая спот-ставка (выраженная в немецких марках за доллар) будет ниже форвардной ставки. Если дело обстоит так, мы говорим, что рынок не возражает оплатить страховую премию за риск — рисковую премию. При отсутствии рисковой премии (форвардная ставка равняется ожидаемой спот-ставке) паритет покрытых процентных ставок подразумевает паритет непокрытых процентных ставок (ПНПС), который говорит, что разница в процентных ставках между двумя странами равняется ожидаемому относительному изменению в обменном курсе. В этом параграфе на основе регрессионных моделей мы рассмотрим тесты на наличие рисковой премии на форвардном валютном рынке. Дополнительную литературу по этим проблемам можно найти, например, в работах (Frankel, 1993), (Isard, 1995) и (Stoll, Whaley 1993), где последний источник ориентирован на финансовый контекст.

4.11.1. Понятия и обозначения

Для немецкого инвестора возможно страхование (хеджирование) против валютного риска посредством покупки во время t необходимого количества долларов США для их поставки во время t + 1 по известной ставке Ft — форвардному валютному курсу. Таким образом, Ft является ставкой во время £, по которой доллары могут быть куплены и проданы (через форвардный контракт) во время t + 1. Безрисковые процентные ставки для Германии и США обозначаются Rfit+i и R^f,t+ соответственно. Для немецкого инвестора инвестиции в американских депозитах могут быть сделаны безрисковыми через хеджирование на форвардном валютном рынке. Таким образом, безрисковые инвестиции для немецкого инвестора дали бы доходность

R\%l+ogFt-ogSu (4.72)

где St является текущим спот-курсом (текущим курсом обмена). Чтобы избежать безрисковых арбитражных возможностей (и неограниченной прибыли для инвесторов), эта доходность должна равняться безрисковой доходности на немецких депозитах, то есть должно быть справедливо, что

Rft+1 R^s+1 = log Ft log St, (4.73)

Правая сторона уравнения (4.73) известна как (отрицательный) форвардный дисконт, в то время как левая сторона называется разницей в процентных ставках. Условие (4.73) известно как паритет покрытых процентных ставок и является чистым безарбитражным условием, которое поэтому удовлетворяется на практике почти неверное (если трансакционные затраты незначительны).

Альтернативные инвестиции соответствуют инвестициям в американские депозиты без страхования валютного риска. Доходность на этих рисковых инвестициях равна

R\%s+1+ogSt+i-logSt, (4.74) математическое ожидание которой равняется доходности (4.72), если

£?t{logSt+i} = l°8Ft или Et{st+i} = fu

где строчные буквы обозначают логарифмы заглавных букв, a Et{-} обозначает условное математическое ожидание при условии всей доступной информации на момент времени t. Равенство

Et{st+i} = ft

вместе с паритетом покрытых процентных ставок подразумевает условие паритета непокрытых процентных ставок, которое говорит, что разница в процентных ставках между двумя странами равняется ожидаемому изменению обменного курса, то есть

Я£+1 = Et{log St+i} log St. (4.75)

Во многих макроэкономических моделях используется это условие ПНПС. Одно из его последствий состоит в том, что малая страна не может ни контролировать свой внутренний уровень процентной ставки, ни свой обменный курс. В последующем внимание будет уделено освещению вопроса, справедлив ли паритет непокрытых процентных ставок, то есть, существует ли рисковая премия на форвардных валютных рынках.

Причина, почему ожидаемая фьючерсная спот-ставка Et{st+i} может отличаться от форвардной ставки заключается в существовании рисковой премии. Возможно, что рынок желает платить рисковую премию, чтобы брать на себя риск обменного курса в доходности (4.74). При отсутствии рисковой премии хеджирование против валютного риска свободно, и любой инвестор может исключить свой риск обменного курса полностью без затрат.

Заметим, что рисковая премия определена как разница между ожидаемым логарифмом фьючерсной спот-ставки и логарифмом форвардной ставки. Исключение логарифма имеет важное возражение, что выражение обменных курсов в одной или другой валюте больше неуместно. В логарифмическом случае это несущественно, поскольку

St {log Sr+i) " F-1 = -Et{log St+i} + log Ft.

4.11.2. Тесты на рисковую премию на одномесячном рынке

Один из подходов к тестированию на наличие рисковой премии основан на простой структуре регрессии. В этом пункте параграфа мы обсудим тесты на наличие рисковой премии на одномесячном форвардном рынке, используя ежемесячные данные. То есть, выборочный такт времени в точности соответствует продолжительности срочного контракта. Эмпирические результаты представлены для одномесячных форвардных контрактов относительно обменных курсов немецкие марки/доллары США и доллары США/фунты стерлингов, используя ежемесячные данные за период с января 1979 г. по август 1994 г. Применение ежемесячных данных для тестирования на рисковую премию на трехмесячном форвардном рынке обсуждается в следующем пункте параграфа.

Гипотезу отсутствия рисковой премии можно написать как

Я0:ВмЫ = /м. (4-76)

Простой способ тестирования этой гипотезы использует известный результат, что разность между случайной переменной и ее условным математическим ожиданием при условии определенного информационного множества некоррелирована с любой переменной из этого информационного множества, то есть,

S{(St-£t_1{st})a:t_i}=0 (4.77)

для любого Xt-i, который известен в момент времени t—1. Из этого мы можем написать следующую модель регрессии

st-ft-i =x't_1(3 + et, (4.78)

где St = st — Et-i{st}. Если нулевая гипотеза Щ истинна и если xt-i известен в момент времени t — 1, то должно быть справедливо, что (3 = 0. Следовательно, нулевую гипотезу Но легко протестировать, проверкой равенства вектора параметров (3 нулевому вектору при заданном выборе переменных xt-. Ниже мы выберем в качестве компонент вектора xtконстанту и форвардный дисконт st-i—ft-i-Поскольку St-i — ft-2 наблюдается в период t — 1, то St-i также является элементом информационного множества в момент времени t — 1. Поэтому, соотношение (4.77) также подразумевает это при нулевой гипотезе Но остатки в модели регрессии (4.78) не имеют никакой автокорреляции. Таким образом, наличие автокорреляции остатков St является показанием наличия рисковой премии. Заметим, что гипотеза ничего не говорит о дисперсии St, допуская возможное отсутствие гомоскедастичности, и, следовательно, гетероскедастично-состоятельные стандартные ошибки МНК-оценки должны быть использованы.

Данные взяты13^ из файла DATASTREAM за период с января 1979 г. по август 1994 г. Использовались два обменных курса: немецкие марки/доллары США и доллары США/фунты стерлингов — где, следуя стандартным соглашениям, первый валютный курс вы

0.012-

-0.008

ражается в немецких марках за доллар США, тогда как второй валютный курс выражается в долларах США за фунт стерлинг. Динамика этих двух обменных курсов представлена на рисунке 4.5. Посмотрев на этот рисунок, мы можем предположить слабость доллара США относительно немецкой марки и фунта стерлинга в начале восьмидесятых и в конце 1980-х начале 1990-х годов.

На рисунке 4.6 для обоих обменных курсов представлен график ежемесячных форвардных дисконтов st — ftДля немецкой марки спот-курс почти во всех месяцах выше форвардной ставки, которая при условии паритета покрытых процентных ставок подразумевает, что американская номинальная процентная ставка превышает немецкую ставку. По-видимому, обратное имеет место только в течение последних двух лет.

Далее регрессионное уравнение (4.78) оценивалось с помощью МНК при Xt-i = (1, St-i — ft-i)'Результаты для валютного курса доллары США /фунты стерлингов представлены в таблице 4.12. Поскольку форвардный дисконт имеет свойства лагированной зависимой переменной (разность st-i — ft-i коррелирована с St-i), то тест Дарбина—Уотсона неприемлем. Самая простая альтернатива состоит в применении теста Бреуша—Годфри, который основывается на вспомогательной регрессии МНК-оцененных остатков et на

14) Ниже для определения Т в ТВ? во вспомогательных регрессиях мы используем эффективное число наблюдений.

15) С отрицательной рисковой премией нет никакой фундаментальной проблемы.

В то время как это означает, что ожидаемая доходность ниже доходности

остатки et-i и константу (см. выше), а затем вычисляется TR К Мы можем протестировать наличие автокорреляции более высоких порядков включением дополнительных лагов, например, и ets-Таким образом можно протестировать нулевую гипотезу об отсутствии автокорреляции против альтернативной гипотезы о наличии автокорреляции от 1-го и (вплоть до) 12-го порядка. Критические статистики равны 0,54 и 12,06. При 5\%-х критических значениях, равных 3,84 и 21,0 (для хї и Х12 соответственно), отклонение нулевых гипотез не подразумевается. Значения t-статистик в регрессии указывают, что свободный член значимо отличается от нуля и, в то время форвардный дисконт имеет значимо положительный коэффициент. Совместный тест на эти два ограничения (3 = 0 приводит к /-статистике, равной 7,08 (р — 0,001), так, что нулевая гипотеза отсутствия рисковой премии отклоняется. Эти числа означают, что если номинальная британская процентная ставка превышает американскую процентную ставку, так что форвардный дисконт St-i — ft-i превышает 0,002 (например, с 1988 года), то разность Et-i{st} — ft-i положительна. Таким образом, британские инвесторы могут продать свои фунты на форвардном рынке по ставке, например, 1,75 доллара США, в то время как ожидаемый спот-курс, например, 1,77 доллара США. Британские импортеры, которые хотят застраховаться против риска обменного курса для своих заказов в США, должны оплатить рисковую премию. С другой стороны американские трейдеры от этого получают прибыль; в то же самое время они могут застраховаться против валютного риска и обналичить (!) рисковую премию15^.

Применяемые выше і-статистики, обоснованы только асимптотически, при условии, что остатки St не показывают никакой автокорреляции, что гарантируется условием (4.77), и что St являются гомоскедастичными. Критическую статистику Бреуша—Пагана для проверки гетероскедастичности можно вычислить как TR2 вспомогательной регрессии квадрата МНК-оцененного остатка е2 на константу и разность st-i — Л-ъ которая приводит к незначимому значению 3,03. Очевидно, нет никакой причины сомневаться в применимости обычных стандартных ошибок для МНК-оценок.

Подобным способом мы можем протестировать наличие рисковой премии в форвардной ставке немецкие марки/дол л ары США. Результаты этой регрессии следующие:

st ft-! = 0,0024 + 0,176 (st-i ft-i) + eu R2 = 0,0002, (0,0047) (1,007)

BG(l) = 0,02, BG(12) = 10,48.

Здесь BG{h) обозначает тестовую статистику Бреуша—Годфри для автокорреляции вплоть до h-vo порядка. Для валютного курса немецкие марки/доллары США наличие рисковой премии не найдено: коэффициенты регрессии отличаются от нуля незначимо, и гипотеза отсутствия автокорреляции не отклоняется.

4.17.3. Тесты на рисковую премию

при применении перекрывающихся выборок

В п. 4.11.2 анализ ограничивался одномесячным форвардным рынком иностранной валюты. Конечно, форвардные рынки существуют с другими сроками оплаты, например, с трехмесячными или шестимесячными сроками. В этом подразделе мы обратим внимание на вопрос, до какой степени можно использовать методы, обсужденные в предыдущем разделе, чтобы проводить тестирование наличия рисковой премии на трехмесячном форвардном рынке. Тем не менее, выборочный такт времени в один месяц сохраняется.

на безрисковые инвестиции, фактическая доходность может все еще превышать безрисковый валютный курс в ситуациях, которые являются особенно интересными инвестору. Например, страхование от пожара вашего дома, как правило, имеет отрицательную ожидаемую доходность, но большую положительную доходность в специфическом случае, если ваш дом сгорит дотла.

Обозначим логарифмическую цену трехмесячного форвардного контракта через /t3. Тогда нулевую гипотезу отсутствия рисковой премии можно сформулировать как

#о : £*-з W Л-з(4-79)

Используя как и прежде аналогичные аргументы, модель регрессии, подобную модели (4.78), можно написать как

st-fl3 = x't_3(3 + et, (4.80)

где

et = stEts{st}Если xt-3 наблюдается в момент времени t — 3, то при нулевой гипотезе Но вектор /3 в регрессии (4.80) должен равняться нулю. Простое применение МНК для оценивания параметров модели (4.80) с вектором

xt-3 = (1, st-3 ~ Л-з)7

дает следующие результаты для валютного курса доллары США/ фунты стерлингов:

st Л3_3 = -0,020 + 3,509 (st-3 Л3_3) + eu R2 = 0,1319, (0,006) (0,665)

BG(1) = 81,52, BG(12) = 112,92,

а для валютного курса немецкие марки/доллары США:

st Л-з = "0,011 + 0,243 (*t_3 Л-з) + et, R2 = 0,0007, (0,009) (0,661)

BG(1) = 87,51, BG{2) = 113,64.

По-видимому, эти результаты означают явное присутствие рисковой премии на обоих рынках: тесты Бреуша—Годфри на наличие автокорреляции указывают на строгую автокорреляцию, несмотря на то, что коэффициенты регрессии для рынка обмена доллары США /фунты стерлингов высоко значимы. Однако, эти заключения некорректны.

Предположение, что остатки не показывают никакой автокорреляции, было основано на наблюдении, что условие (4.77) также справедливо для xt-i =£t-i, так что остатки є^+і и St некорре-лированы. Однако этот результат справедлив, если только частота регистрации данных совпадает со сроком оплаты контракта. В настоящем случае мы имеем ежемесячные данные для трехмесячных контрактов. Аналог условия (4.77) теперь имеет вид

E{(st Et-3{8t})xt-3} = 0 (4.81) для любого xt-3, известного в момент времени t — 3.

Следовательно, это означает, что остатки St и St-j (j = 3, 4, 5,...) некоррелированы, но не означает, что некоррелироваными являются остатки et и St-i или St-2Напротив, эти остатки, по-видимому, будут высоко коррелированы. Рассмотрим иллюстративный случай, где (логарифмические) обменные курсы порождаются так называемым процессом случайного блуждания 16 то есть, St = St-i +Vt, где rjt, являются независимыми и одинаково распределенными слу2

чайными величинами с нулевым средним и дисперсией av и где никакая рисковая премия не существует, то есть, /t3_3 = Ets{st}-Тогда легко показать, что

et = stEt-3{st} =rjt + Vt-i + Vt-2Следовательно, структура автокорреляции остатков et описывается процессом скользящего среднего порядка 2. Если логарифмические обменные курсы не являются случайными блужданиями, член ошибки St будет включать возмущения с периодами t,t — 1и£ — 2,и поэтому St будет скользящим средним даже в более общем случае. Эта проблема автокорреляции возникает из-за так называемой проблемы перекрывающихся выборок, где частота регистрации наблюдений (ежемесячная) выше, чем интересующая нас частота данных (ежеквартальная). Если мы хотим проверить, выходит ли автокорреляция остатков за пределы первых двух лагов, то есть, выясняем, коррелирован ли et с остатками от Sts Д° £t-i2? то мы должны построить регрессию МНК-оцененного остатка et по остаткам е^-з, •.., et-i2 и по xt. Вычисленные критические статистики Бреуша—Годфри равны 8,01 и 6,04 соответственно и обе являются незначимыми для распределения хи-квадрата с 10 степенями свободы.

Факт, что первые две автокорреляции остатков в регрессиях выше отличаются от нуля, подразумевает, что результаты регрессии являются не информативными для заключения о наличии рисковой премии: стандартные ошибки вычислены некорректным способом и, кроме того, тесты Бреуша—Годфри на наличие автокорреляции,