5.5. обобщенный метод инструментальных переменных

5.5. обобщенный метод инструментальных переменных

В параграфе 5.3 мы рассматривали линейную модель, где для каждой объясняющей переменной была доступна в точности одна инструментальная переменная, которая могла бы равняться самой переменной, если бы она предполагалась экзогенной. В этом разделе мы обобщим эту ситуацию, позволяя применять произвольное число инструментальных переменных.

5.5.Ї. Множественные эндогенные регрессоры

с произвольным числом инструментальных переменных

Рассмотрим следующую общую модель

yi = x'iP + eu (5.54)

где Хі имеет размерность К. МНК-оценка основана на К моментных условиях

Е{єіХі} = Е{{Уі-х[Р)хг} = 0.

В общем, предположим, что существует R инструментальных переменных, доступных в векторе Zi, который может перекрываться с вектором объясняющих переменных Хі. Тогда соответствующие моментные условия задаются следующими R ограничениями

E{eiZi} = Е{(Уі х[/3)г{} = 0. (5.55)

Если R = К, то мы возвращаемся к предыдущей ситуации и оценку методом инструментальных переменных можно получить в виде решения из выборочных моментных условий

1 N

T7^2(yi-xfi(3Mn)zi = 0,

1=1

откуда мы получаем решение

Рип —

n

n

г=і

Если модель написана в матричной системе обозначений

У = Хр + е

и матрица Z — N х R матрица значений инструментальных переменных, то оценку методом инструментальных переменных можно написать также в виде

pMn=(Z'X)-1Z'y.

(5.56)

Если R > К, то инструментальных переменных больше чем регрессоров. В этом случае получить решение для оценки вектора параметров /3, заменяя моментные условия (5.55) их выборочными аналогами, невозможно. Причина состоит в том, что уравнений больше чем неизвестных. Поэтому вместо исключения инструментальных переменных (что приводит к потере эффективности) следует выбирать вектор параметров f3 таким образом, что R выборочных моментов

n

г=1

были бы насколько возможно ближе к нулю. Это делается минимизацией следующей квадратичной формы

Qn(P) =

± £(у< х'ф)г} WN [1 £(уг х'ф)г.

1=1 -I L г=1

(5.57)

где Wn — R х R положительно определенная симметрическая матрица. Эта матрица является матрицей весов, и говорит нам, какой вес приписывается каждому из R выборочных моментов в их линейной комбинации из (5.57). В общем, матрица весов может зависеть от объема выборки N, поскольку она сама может быть оценкой.

^Z'(y-X0)

(5.58)

n

Для асимптотических свойств получающейся в результате оценки вектора параметров (3 является важным предел по вероятности Wn , обозначаемый как W = plim Wn • Матрица W должна быть положительно определенной и симметрической. Используя для удобства матричную систему обозначений, мы можем переписать квадратичную форму (5.57) в виде

Qn(P) =

Дифференцирование этого выражения относительно вектора неизвестных параметров /3 (см. приложение А) приводит к условиям первого порядка:

-2X'ZWNZ'y + 2X'ZWNZ'X(3Mn = О, которые в свою очередь приводят к равенству

X'ZWNZ'y = X'ZWNZ'X(3Mn. (5.59)

Соотношение (5.59) является системой уравнений с К уравнениями и К неизвестными элементами в векторе оценок (Зип, где XіZ имеет размерность К х Д, a Zfy имеет размерность R х 1. При условии, что матрица X'Z имеет ранг К, решение системы уравнений (5.59) имеет вид

рип = {X'ZWnZ'X)-1 X'ZWNZ'y, (5.60)

и, в общем, зависит от матрицы весов WnЕсли R = К, то матрица X'Z квадратная и (по предположению) обратимая. Это позволяет нам написать выражение

Рип = (Z'Xy'W^iX'Z)-1 X'ZWNZ'y = (Z'X^Z'y,

которое соответствует выражению (5.56) с исключенной матрицей весов. В этом случае число моментных условий в точности равно числу оцениваемых параметров. Об этой ситуации можно думать как о ситуации, в которой вектор неизвестных параметров (3 «идентифицирован точно», поскольку для оценивания вектора параметров (3 мы имеем только достаточную информацию (то есть, моментные условия). Непосредственное следствие состоит в том, что минимум квадратичной формы (5.58) равен нулю, т.е., что соответствующим выбором вектора неизвестных параметров (3 все выборочные моменты можно установить равными нулю. Таким образом, квадратичная форма qn((3nn) равна нулю. В этом случае (Зип не зависит от матрицы весов Wn , и одна и та же оценка получается независимо от выбора матрицы весов.

Если R < К, то число оцениваемых параметров будет превышать число условий моментов. В этом случае вектор неизвестных параметров (3 является «недоидентифицируемым» (или просто неиден-тифицируемым), поскольку для однозначного оценивания вектора параметров (3 данной информации недостаточно (то есть не хватает моментных условий). Технически, это означает, что обратной матрицы в выражении (5.60) не существует, и условия первого порядка (5.59) удовлетворяются бесконечным числом решений. До тех пор, пока мы не сможем сформулировать дополнительные моментые условия, проблема идентификации является фатальной в том смысле, что никакой состоятельной оценки для вектора параметров /3 не существует. Любая оценка обязательно будет несостоятельной.

Если R > К, то число моментных условий превышает число оцениваемых параметров, и в этом случае вектор неизвестных параметров (3 является «сверхидентифицируемым», поскольку информации больше, чем необходимо для получения состоятельной оценки вектора параметров (3. В этом случае мы имеем диапазон оценок для вектора параметров /3, соответствующий альтернативным выборам для матрицы весов WnДо тех пор, пока матрица весов (асимптотически) положительно определенная, получающиеся в результате оценки для вектора параметров (3 все состоятельны. Идея, на которой основан этот результат состоятельности, состоит в том, что мы минимизируем квадратичную функцию потерь на множестве выборочных моментов, которые асимптотически сходятся к соответствующим моментам генеральной совокупности, а те, в свою очередь, равны нулю при истинных значениях оцениваемых параметров. Это и есть основной принцип, заложенный в основание так называемого метода моментов. Он более подробно будет обсуждаться в следующем параграфе.

Различные матрицы весов Wn приводят к различным состоятельным оценкам, в общем, с разными асимптотическими ковариационными матрицами. Это позволяет нам выбирать оптимальную матрицу весов, которая приводит к наиболее эффективной оценке инструментальных переменных. Можно показать, что оптимальная матрица весов пропорциональна матрице обратной к ковариационной матрице выборочных моментов. Интуитивно это означает, что выборочные моменты с маленькой дисперсией, которые, следовательно, обеспечивают более точную информацию о параметрах /3, получают большие веса при оценивании, чем выборочные моменты с большой дисперсией. По существу, это та же самая идея, что и взвешенный метод наименьших квадратов, обсужденный в главе 4, хотя теперь веса отражают разные выборочные моменты, а не разные наблюдения.

Конечно, ковариационная матрица выборочных моментов

1 N

i=l

зависит от предположений, которые мы делаем об остатках є і и векторе инструментальных переменных z{. Если, как и прежде, мы предполагаем, что остатки Єі есть НОР(0, а2) и не зависит от вектора инструментальных переменных Z{, то асимптотическая ковариационная матрица выборочных моментов задается как

1 N

a2Ezz = a2 plim — ^ ZiZ-.

i=i

Следовательно, оптимальная матрица весов получается в виде

а получающаяся в результате оценка методом инструментальных переменных для вектора неизвестных параметров (3 имеет вид

Дяя = {X,Z{ZfZ)-lZ'X)-lXfZ{Z'Z)-lZfy. (5.61)

Это выражение можно найти в большинстве учебников (см., например, (Greene, 2000, Sect. 16.5)). Эта оценка иногда называется оценкой обобщенным методом инструментальных переменных (ОМИП-оценкой). Она также известна как оценка двухшаговым методом наименьших квадратов или 2МНК-оценка (см. ниже). Если остатки є і гетероскедастичные или подвержены автокорреляции, то оптимальная матрица весов соответственно должна быть скорректирована. Как это сделать, следует из общего обсуждения в следующем параграфе.

Асимптотическое распределение оценки (Зип задается в виде

VN0Mn-0) -►Л/ХО.^Е^Е-1^)-1),

и является тем же самым выражением, которое приводилось в параграфе 5.3. Единственное различие состоит в размерностях матриц

T,xz и T,zz. Оценку для ковариационной матрицы легко получить, заменяя асимптотические пределы их выборочными аналогами. Это приводит к выражению

У0ип} = d2{X'Z{Z'Z)-lZ'X)(5.62)

где оценка для дисперсии а2 получается из остатков метода инструментальных переменных є і = у і — х'іРип как

1 N

Результаты по состоятельности и асимптотическому распределению оценки обобщенным методом инструментальных переменных основаны на предположении, что модель специфицирована корректно. Поскольку оценка основана только на моментных условиях модели, то требуется, чтобы эти условия были корректными. Следовательно, важно протестировать, согласуются ли данные с этими моментными условиями. В случае «точной идентифицируемости» по построению справедливо соотношение

і

независимо от того, действительно ли истинны моментные условия для генеральной совокупности. Следовательно, из соответствующих выборочных моментов нельзя получить полезный критерий тестирования. Выражаясь иначе, К — R идентифицирующих ограничений не поддаются тестированию. Однако, если вектор неизвестных параметров /3 сверхидентифицируем, то ясно, что только К (линейных комбинаций) из R элементов в векторе

N £iZi

і

устанавливаются равными нулю. Если бы моментные условия для генеральной совокупности являлись истинными, то ожидалось бы, что элементы в векторе

і

все являлись бы достаточно близкими к нулю (поскольку они должны сходиться к нулю асимптотически). Это является основанием для построения теста на спецификацию модели. Можно показать, что