6.7.4. нормальная линейная модель регрессии
6.7.4. нормальная линейная модель регрессии
В этом подразделе мы рассмотрим линейную модель регрессии с нормальными независимо и одинаково распределенными остатками
(и НеЗаВИСИМЫМИ ОТ ВСеХ объЯСНЯЮЩИХ ПеремеННЫХ в веКТОре Х{).
Это модель, рассматриваемая в главе 2, дополняется предположениями (А1)-(А5). Напишем
Уі = х'ф + Єі, Єі НОНР(0, a2).
Здесь налагается условие, что переменная у і имеет нормальное распределение (условное по экзогенным переменным) со средним х'і/3 и постоянной дисперсией сг2. Обобщая выражение (6.9), логарифмическую функцию правдоподобия для этой модели можно записать в виде
n
logL(/?, a2) = J] logL,(/?, a2) =
г=і
N
log (2тгсг2)
1 N
(Уі ар?
(6.22)
і ijyi-APf
I ъ Л
/
в то время как ММП-оценки /?, а2 удовлетворяют условиям первого порядка
n
И
N
1 N
2d2 ' 2 ^ <тч
г=1
= 0.
Легко проверить, что решения этих уравнений имеют вид
у n ч-1 iV n
р = (Y1 хіх'і ) Е хіУі> э2 = ы Л(уі х&2^1=1 ' 1=1 2=1
Оценка для вектора коэффициентов наклона идентична знакомой МНК-оценке, тогда как оценка для дисперсии отличается от МНК-значения s2 делением на 7V, а не N — К. Информационная матрица имеет вид
ma2) = E{Si((3, a2)Si(p,a2)'}.
Используя то, что для нормального распределения Е{єі} = 0, Е{е2} = сг2, Е{е^} = 0 и E{sf} = Зет4 (см. Приложение Б), можно
показать, что
1
Поскольку эта информационная матрица блочно диагональная, то ее обращение будет равно
2-1
alE{xiXY О
О
2а4
Из этого следует, что оценки /3 и Э2 асимптотически нормальны и взаимно независимы, а именно
VN0 -ІЗ)-* ЛГ(0, а2Е{х^}-1), VN(a2 а2) -> ЛГ(0, 2а4). Таким образом, для малых выборок приближенно справедливо, что
N
Заменяя а2 на ее оценку а2, получаем (приближенно)
Заметим, что это весьма близко к результатам, которые известны для МНК-оценки.
Обсуждение Путеводитель по современной эконометрике
Комментарии, рецензии и отзывы