6.4. метод квази-максимального правдоподобия и тесты моментных условий

6.4. метод квази-максимального правдоподобия и тесты моментных условий

Это существенно, что метод максимального правдоподобия требует полностью определенных предположений об общем виде анализируемых распределений, тогда как для применения обобщенного метода моментов (ОММ), обсужденного в предыдущей главе, делаются предположения только о моментах этих распределений. Однако, возможно, что моментные условия, используемые в подходе ОММ, могут также опираться на предположения о форме распределения. Это позволяет нам воспроизводить ММП-оценку в виде ОММ-оценки с моментными условиями, соответствующими условиям первого порядка максимального правдоподобия. Такое обобщение полезно, поскольку позволяет нам утверждать, что в некоторых случаях оценка максимального правдоподобия состоятельна, даже если функция правдоподобия не полностью корректна (но корректны условия первого порядка). Кроме того, это позволяет нам расширить класс тестов множителей Лагранжа на случай тестов моментных условий.

6.4.1. Метод квази-максимального правдоподобия

В этом пункте данного параграфа мы увидим, что ММП-оценку можно интерпретировать как ОММ-оценку, отметив, что условия первого порядка проблемы максимального правдоподобия соответствуют выборочным средним, основанным на теоретических моментных условиях. Отправной точкой является справедливость равенства

E{si(0)} = 0 (6.41)

для истинного if-мерного вектора параметров 6 при предположении, что функция правдоподобия корректна. Доказательство этого равенства относительно легкое и поучительное. Если мы рассматриваем функцию плотности переменной yi при заданном векторе

объясняющих переменных #г, /(Уг|^г5 9) > то по построению справедливо, что (см. Приложение Б),

/

f{yi[Xi 9) dyi = 1,

I

где интегрирование проводится по несущему множеству*^ уі. Дифференцируя по вектору параметров 0, получаем

df(yixi