8.2.3. общие корни

8.2.3. общие корни

Разложение полиномов скользящего среднего и авторегрессии на произведения линейных функций от L также ставит проблему общих или аннулируемых (исключаемых из рассмотрения) корней. Это означает, что компоненты АР и СС модели АРСС имеют одинаковые корни, и соответствующие линейные функции от L аннулируются (исключаются). Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим процесс, описываемый моделью АРСС (2, 1):

(l-elL-92L2)yt = (l + aL)et.

Тогда мы можем записать этот процесс в виде

(1 фхЬ){ <j>2L)Yt = (1 + aL)et. (8.40)

Теперь, если окажется, что а = — ф, то мы можем разделить обе части на (1 + aL), тогда получим выражение

(1 ф2Ь)уг = et,

которое точно то же, что и выражение (8.40). Таким образом, в случае одного аннулируемого корня модель АРСС(р, q) можно записать эквивалентно в виде модели АРСС(р — 1, q — 1). В качестве примера рассмотрим модель

yt = Vt-i 0,25yt_2 + Єі(8.41)

которую можно переписать как

(1 0,5L)(1 0,5L)yt = (1 0,5L)et. Ясно, что ее можно свести к модели АР(1)

(1 0.5L)yt = st

или

yt = 0,5i/t—і +£t.

которая в точности описывает тот же процесс, что и модель (8.41).

Проблема общих корней иллюстрирует причину проблематичности практического оценивания модели АРСС с компонентами АР и СС высокого порядка. Причина состоит в том, что идентификация и оценивание являются сложными, если корни полинома СС и полинома АР почти идентичны. В этом случае упрощенная модель АРСС(р— 1,9 — 1) приведет к почти эквивалентному представлению.

8.3. Стационарность и единичные корни

Стационарность стохастического процесса требует, чтобы дисперсии и автоковариации были конечны и независимы от времени. Легко проверить, что процессы СС конечного порядка являются стационарными по построению, потому что они соответствуют взвешенной сумме фиксированного числа стационарных процессов белого шума. Конечно, этот результат нарушается, если бы мы позволили коэффициентам модели СС изменяться во времени, как, например, в модели

yt = et + g(t)et-i

(8.42)

где g(t) — некоторая детерминированная (неслучайная) функция от t. Тогда мы имеем дисперсию

E{y2} = o2 + g2{t)a2

которая является зависимой от t. Следовательно, процесс (8.42) является нестационарным.

Стационарность процессов авторегрессии или процессов АРСС менее тривиальна. Рассмотрим, например, процесс АР(1)

yt = Oyt-i +st

(8.43)

с 9 = 1. Взятие дисперсий от обеих сторон последнего соотношения приводит к уравнению V{yt} = V{yt-i} + cr2, которое не имеет решения для дисперсии процесса, согласующегося со стационарностью, за исключением а1 — 0, когда существует бесконечность решений. Процесс (8.43) является процессом авторегрессии первого порядка с единичным корнем {9 = 1) и обычно этот процесс называется случайным блужданием. Безусловной дисперсии yt не существует, то есть, она является бесконечной, и этот процесс является нестационарным. Фактически, для любого значения в с в > 1 модель (8.43) описывает нестационарный процесс.

Мы можем формализовать вышеизложенные результаты следующим образом. Процесс АР(1) является стационарным, если и только если, полином 1 — 9L является обратимым, то есть, если корень характеристического уравнения 1 — 9z = 0 больше единицы. Этот результат непосредственно обобщается на произвольные модели АРСС. Модель АРСС(р, q)

9{L)yt a(L)et (8.44)

соответствует стационарному процессу, если и только если, решения zi,... , zp для 9{z) = 0 больше единицы (по абсолютному значению), то есть, когда полином АР является обратимым. Например, процесс АРСС(2,1), заданный в виде

yt = l,2j/*_i 0,2yt_2 +st(8.45)

является нестационарным, так как z = 1 является решением для l-l,2z + 0,2z2 = 0.

Специальный, особенно интересный случай возникает, когда один корень в точности равен единице, в то время как другие корни больше единицы. Если такой случай возникает, то мы можем написать процесс для yt как

9*(Щ1 L)yt = e*(L)Ayt a(L)et, (8.46)

где 9*(L) — обратимый полином от L порядка р — 1. Поскольку корни полинома АР являются решениями для 0*(z)(l — z) — 0, то существует одно решение z — 1 или, другими словами, единственный единичный корень. Таким образом уравнение (8.46) показывает, что приращение Ayt можно описать стационарной моделью АРСС, если процесс для yt имеет один единичный корень. Следовательно, мы можем устранить эту нестационарность, преобразованием ряда в

первые разности (приращения). Запись процесса (8.45) в виде (l-0,2L)(l-L)yt = (l-0,5L)et

показывает, что Ayt описывается стационарным процессом АРСС (1,1), задаваемым как

Ayt = 0,2Ду,_! + et 0,5^_і.

Временной ряд, который становится стационарным после первого взятия разностей, называется интегрируемым порядка один и обозначается 1(1). Если Ayt описывается стационарной моделью АРСС(р, д), то говорят, что yt описывается моделью авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС) порядка р, 1, q или кратко модель АРПСС(р, 1, q).

Первое взятие разностей весьма часто может преобразовать нестационарный ряд в стационарный. В особенности это может иметь место для агрегированных экономических рядов или их натуральных логарифмов. Например, заметим, что когда Yt является логарифмом национального дохода, AYt соответствует темпу роста дохода, который вряд ли не будет стационарным. Заметим, что полином АР обязан иметь точный единичный корень. Если истинной моделью является АР(1) с в = 1,01, то мы имеем процесс Ayt — 0,01уг_і + є*, который является нестационарным процессом, поскольку он зависит от нестационарного процесса yt. Следовательно, процесс АР(1) с в = 1,01 не является интегрируемым процессом порядка один.

В некоторых случаях взятия первых разностей недостаточно, чтобы получить стационарность, и требуется второй шаг взятия разностей. В этом случае стационарный временной ряд задается в виде A(Ayt) = Ayt — Ayt-іч который соответствует приращению темпа роста для логарифмических переменных. Если разности временного ряда должны браться дважды, прежде чем ряд станет стационарным, то такой временной ряд называется интегрируемым порядка 2, обозначается 1(2), и должен иметь два единичных корня. Таким образом, временной ряд yt является 1(2), если ряд Ayt является нестационарным, но ряд A2yt является стационарным. Более формальное определение интегрирования дано у Энгеля и Гранджера (Engle, Granger, 1987), где определены также более высокие порядки интегрирования, которые имеют слабое отношение к экономическим приложениям. Таким образом, временной ряд, интегрируемый порядка нуль, является стационарным, в то время как для временного ряда, интегрируемого порядка один, стационарна первая разность. Ряд белого шума и стабильный процесс АР(1), являются примерами временного ряда 1(0), в то время как процесс случайного блуждания, который описывается моделью (8.43) с 9 — 1, является примером временного ряда 1(1).

В долгосрочной динамике возможна непредсказуемость различия, имеет ли ряд точный единичный корень, или корень является немного больше единицы. Это различие между тем, является ли временной ряд 1(1), или 1(0). Вообще, главное различие между процессами, которые являются 1(0) и 1(1), можно резюмировать следующим образом. Временной ряд 1(0) флуктуирует вокруг своего среднего с конечной дисперсией, которая не зависит от времени, в то время как временной ряд 1(1) долго блуждает. Обычно говорят, что временной ряд 1(0) является возвращающимся к среднему, поскольку в долгосрочной динамике существует тенденция возвращения к своему среднему значению. Кроме того, временной ряд 1(0) имеет ограниченную память о своем прошлом поведении (предполагая, что эффекты специфической случайной являются только кратковременными), в то время как процесс 1(1) имеет бесконечно длинную память (предполагая, что et будет постоянно влиять на процесс). Этот последний аспект становится ясным из автокорреляционных функций: для временного ряда 1(0) при возрастании лага автокорреляции быстро уменьшаются, в то время как для процесса 1(1) оцененные коэффициенты автокорреляции приближаются к нулю очень медленно.

Последнее свойство делает наличие единичного корня интересным вопросом с экономической точки зрения. В моделях с единичными корнями случайные возмущения («шоки», которые могут возникать из-за политических вмешательств) имеют устойчивые эффекты, которые длятся нескончаемо долго, в то время как в случае стационарных моделей возмущения («шоки») могут иметь только временный эффект. Конечно, долгосрочный динамический эффект возмущения не обязательно имеет такую же величину как краткосрочный эффект. В результате, с начала 1980-х издавалось3^ обширное количество литературы о наличии единичных корней во многих макроэкономических временных рядах, иногда с противоречивыми

Самое влиятельное исследование провели Нельсон и Плоссер (Nelson, Plosser, 1982). Они привели аргументы, что многие экономические временные ряды лучше характеризуются единичными корнями, чем детерминированными трендами.

заключениями (в зависимости от применяемых специфических методов). Тот факт, что автокорреляции стационарного ряда постепенно ослабевают или быстро затухают, может помочь в определении порядка взятия разностей, требуемого для достижения стационарности (обычно обозначаемого d). Кроме того, в современной литературе предлагалось несколько формальных критериев проверки наличия единичного корня, некоторые мы обсудим в параграфе 8.4 ниже.

Ряды процентных ставок являются эмпирическими рядами, для которых выбор между единичным корнем (нестационарность) и «почти единичным корнем» (стационарность) особенно неоднозначен. Высокая степень устойчивости в процентных ставках весьма часто делает гипотезу наличия единичного корня статистически не отклоняемой, хотя нестационарные процентные ставки кажутся не очень вероятными с экономической точки зрения. В параграфе 8.9 эта проблема поясняется на эмпирическом примере.

8.4. Тестирование единичных корней

Чтобы ввести процедуры проверки гипотезы о наличии единичного корня, мы сконцентрируемся на моделях авторегрессии. По-видимому, это не особенно ограничивает общность, так как любая модель АРСС будет всегда иметь представление АР (при условии обратимости полинома СС, a{L)).

8.4.1. Тестирование единичных корней

в модели авторегрессии первого порядка

Прежде всего, рассмотрим процесс АР(1)

yt = 0yt-i+€t. (8.47)

Проверка гипотезы наличия единичного корня является проверкой, что 9 = 1, и кажется очевидным использовать оценку 9 для 9 из обычной процедуры наименьших квадратов (которая является состоятельной оценкой, независимо от истинного значения 9) и соответствующую стандартную ошибку для проверки нулевой гипотезы. Однако как показано в основополагающей статье Дики и Фуллера (Dickey, Fuller, 1979), при нулевой гипотезе 9-Х стандартное ^-отношение не имеет ^-распределения даже асимптотически. Причина этого заключается в нестационарности процесса, которая делает несправедливыми стандартные результаты о распределении МНК-оценки 9 (как обсуждалось в главе 2). Например, если 9 — 1, то дисперсия yt, обозначенная 70, неопределена (или, если хотите, является бесконечно большой). Однако для любого конечного объема выборки будет получена конечная оценка дисперсии для yt. Чтобы проверить нулевую гипотезу 9 — 1 можно применить стандартную і-статистику

т=~, (8.48) se(9)

где se{9) обозначает обычную стандартную ошибку МНК-оценки. Однако критические значения следует брать из соответствующего распределения, которое при нулевой гипотезе нестационарности является нестандартным. В частности, распределение имеет правостороннюю асимметрию, так что критические значения меньше чем для (нормальной аппроксимации) ^-распределения. Используя 5\%-ый уровень значимости для односторонней проверки нулевой гипотезы Но : 9 = 1 (единичный корень) против альтернативной гипотезы Н\9 < 1 (стационарность), корректное критическое значение равно —1,95, а не —1,65 как для нормальной аппроксимации. Следовательно, если вы пользуетесь стандартными ^-таблицами, то вы можете отклонять гипотезу единичного корня слишком часто. Выборочные процентили соответствующего распределения опубликованы в нескольких работах Дики и Фуллера. В таблице 8.1 мы представили 1\%-ые и 5\%-ые критические значения для этого теста, обычно называемого тестом Дики—Фуллера, для определенного диапазона различных объемов выборок.

Обычно применяется немного более удобная процедура регрессии. В этом случае модель переписывается как

Ayt = {9 l)yt-i + st, (8.49)

из которой t-статистика для проверки гипотезы 9 — 1 = 0 идентична статистике г выше. Основанием к этому служит факт инвариантности метода наименьших квадратов по отношению к линейным преобразованиям модели.

При нулевой гипотезе, yt описывается процессом случайного блуждания, в то время как при альтернативой гипотезе yt является моделью авторегрессии первого порядка с нулевым средним. Если мы рассматриваем временной ряд Yt, который может иметь не нулевое среднее значение, то в регрессии Дики—Фуллера целесообразно

включить постоянный член. Так как константа в стационарной модели АР(1) удовлетворяет 6 = (1 — #)/і, где /і — среднее значение ряда, то нулевая гипотеза наличия единичного корня также подразумевает, что свободный член должен равняться нулю. Таким образом, тестируемая регрессия имеет вид

bYt = 6 + (0-l)Yt-1+eu (8.50)

где нулевой гипотезой является совместная гипотеза Но : 6 — 0, 9 — 1 = 0. Хотя можно проверить эти два ограничения совместно, легче (и более обще) проверить только, что 9 — 1 = 0. Распределение і-отношения для этой гипотезы, обозначаемое ?м, при предположении, что справедлива Hq (совместная гипотеза), тоже нестандартно. Критические значения для статистики тм, также представленные в таблице 8.1, меньше, чем для статистики т. Для больших выборок гипотеза наличия единичного корня отклоняется на 5\%-ом уровне значимости, если тм < —2,86.

Возможно, что регрессия (8.50) справедлива с 9 = 1 и ненулевым свободным членом 6 ф 0. Поскольку в этом случае 5 не может равняться (1 — #)/і, то регрессию (8.50) нельзя вывести из чистой модели АР(1). Это видно при рассмотрении получающегося в результате процесса

AYt = S + et, (8.51)

который известен как случайное блуждание с дрейфом, где 5 — параметр дрейфа. В модели для переменной уровня Yt, S соответствует линейному временному тренду. Поскольку процесс (8.51) подразумевает, что E{AYt} = 5, то в этом случаем (для заданного начального значения Уо) E{Yt} = Уо + St. Это показывает, что интерпретация свободного члена в регрессии (8.50) сильно зависит от наличия единичного корня. В стационарном случае S отражает ненулевое среднее ряда; в случае наличия единичного корня S отражает детерминированный тренд в Yt. Поскольку в последнем случае первое взятие разностей порождает стационарный временной ряд, то процесс Yt называется разностно-стационарным. Вообще, разностно-стационарный процесс является процессом, который можно сделать стационарным с помощью взятия разностей.

Возможно также, что нестационарность вызывается присутствием в процессе детерминированного временного тренда, а не наличием единичного корня. Это случается, когда модель АР(1) расширяется до модели

Yt = S + 9Yt-1+1t + eu (8.52)

с|#|<1и7^0.В этом случае мы имеем нестационарный процесс из-за линейного тренда jt. Эту нестационарность можно устранить построением регрессии Yt по константе и £, а затем рассматривать остатки этой регрессии, или просто включением t в качестве дополнительной переменной в модель. Процесс Yt в этом случае называется тренд-стационарным. Таким образом, нестационарные процессы можно охарактеризовать наличием детерминированного тренда, подобно jt, стохастическим трендом, подразумевающим наличие единичного корня, или присутствием того и другого.

Можно проверить, соответствует ли процесс Yt процессу случайного блуждания против альтернативы, что он соответствует процессу (8.52), стационарному с точностью до наличия детерминированного тренда. Это можно проверить, построением регрессии

AYt = S + (9 1)У,_! + 7t + et. (8.53)

Нулевая гипотеза, которую хотелось бы проверить, состоит в том, что процесс является случайным блужданием, а не стационарным в тренде и соответствует гипотезе Hq : 6 = ^ = 9 — 1 = 0. Вместо проверки этой совместной гипотезы обычно используют t-отношение, соответствующее 9 — 1, обозначаемое тт, предполагая, что другие ограничения в нулевых гипотезах удовлетворяются. Хотя нулевая гипотеза все еще та же, что и в двух предыдущих проверках гипотезы о наличии единичного корня, тестирование регрессии от них отличается, и таким образом мы снова имеем другое распределение тестовой статистики. Критические значения для статистики тт, представленные в последних двух столбцах таблицы 8.1, все же меньше чем для статистики тм. Фактически, с включенным свободным членом и детерминированным трендом вероятность, что 9 — 1 положительно (при условии, что истинное значение 9—1 равно нулю), пренебрежимо мала. Однако следует заметить, что, если гипотеза наличия единичного корня # — 1 = 0 отклоняется, то мы не можем заключить, что процесс Yt, вероятно, должен быть стационарным. При альтернативной гипотезе, 7 может быть не нулевым, так что процесс Yt является нестационарным (но только тренд-стационарным).

Выражение «тест Дики—Фуллера» или просто «тест ДФ» ("DF" в латинской терминологии) применяется для любого из описанных выше тестов и таким образом тест Дики—Фуллера строится на основе регрессии с константой или без константы, и с трендом или без тренда. Однако обычно в регрессии включается постоянный член. Важно подчеркнуть, что гипотеза наличия единичного корня соответствует нулевой гипотезе. Если мы не способны отклонить гипотезу наличия единичного корня, то это не обязательно означает, что эта гипотеза верна. Возможно только, что информация, содержащаяся в данных, недостаточна для отклонения этой гипотезы. Конечно, это просто общее различие понятий «принять» гипотезу и «не отклонить ее». Поскольку долгосрочные динамические свойства процесса кардинально зависят от того, установлено наличие единичного корня или нет, это нечто, в чем следует отдавать себе отчет. Не все временные ряды, для которых мы не можем отклонить гипотезу о наличии единичного корня, являются обязательно интегрируемыми порядка единица.

Чтобы обойти проблему, заключающуюся в том, что тесты о наличии единичного корня часто имеют малую мощность, Квятков-ски, Филлипс, Шмидт и Шин (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin, 1992) предложили альтернативный тест, в котором нулевой гипотезой является стационарность, а альтернативная гипотеза — наличие единичного корня. Этот тест обычно называется тестом КФТТТТТТ (KPSS). Основная идея состоит в том, что временной ряд разлагается на сумму детерминированного временного тренда, случайного блуждания и стационарного (остаточного) члена ошибки (обычно не белый шум). Нулевая гипотеза (о тренд-стационарности) определяет, что дисперсия компоненты случайного блуждания равна нулю. Этот тест, фактически, является тестом множителей Лагранжа (см. главу 6) и вычисление критической статистики довольно простое. Сначала получают вспомогательную регрессию Yt по свободному члену и временному тренду і. Затем сохраняют МНК-оцененные остатки, et, и вычисляют частные суммы

t

s=l

для всех t. Тогда критическая статистика имеет вид

кФшш = £;!!,

где а2 — оценка для дисперсии ошибки. Эта последняя оценка а может включать коррекции, учитывающие автокорреляцию, основанные на формуле Невье—Веста (см. главу 4). Асимптотическое распределение нестандартно, и Квятковски и др. (Kwiatkowski at al., 1992) вычислили 5\%-ое критическое значение, равное 0,146. Если нулевой гипотезой является стационарность, а не тренд-стационарность, то член тренда должен исключаться из вспомогательной регрессии. Тогда тестовая статистика вычисляется тем же самым способом, но 5\%-ое критическое значение равно 0,463.

8.4.2. Тестирование единичных корней

в моделях авторегрессии более высокого порядка

Тест наличия единственного единичного корня в процессах АР более высокого порядка можно легко получить расширением процедуры теста Дики—Фуллера. Общая стратегия состоит в том, что в регрессию включаются лаговые разности, типа Ayt-i, Ду*-2> • •> так что ее остаточный член ошибки соответствует белому шуму. Это приводит к так называемому расширенному тесту Дики—Фуллера (тесту РДФ) ("ADF" в латинской терминологии), для которого справедливы те же самые асимптотические критические значения, которые приведены в таблице 8.1.

Рассмотрим модель АР(2)

Vt = Om-i + 02yt-2 + еи (8.54)

которую можно записать в факторизованном виде как

(l-<t>1L)(l-cf>2L)yt = et. (8.55)

Условие стационарности требует, чтобы ф и ф2 оба были меньше единицы по абсолютному значению, но если ф — 1 и ф2 < 1, то мы имеем единственный единичный корень, 0 + 92 = 1 и #2 = —02-Уравнение (8.54) можно использовать, чтобы проверить гипотезу о наличии единичного корня, тестируя 9i+02 — 1 при условии |021 < 1Это удобно сделать, переписав модель (8.54) в виде

АУі = (01 + в2 l)yt~ 02Ayt-1 + £t

(8.56)

Коэффициенты в модели (8.56) можно оценить состоятельно методом наименьших квадратов, а оценка коэффициента для yt-і предоставляет СПОСобы Тестирования Нулевой ГИПОТеЗЫ 7г = 0+02 — 1 = 0.

Получающееся в результате t-отношение, 7?/зе(7г), имеет то же самое распределение, что и статистика г выше. В духе процедуры Дики— Фуллера к тестируемой регрессии можно добавить свободный член или свободный член и временной тренд. В зависимости от того, какой вариант используется, получающееся в результате значение критической статистики должно сравниваться с критическим значением, взятым из соответствующей строки таблицы 8.1.

Эту процедуру можно легко обобщить для проверки гипотезы о наличии единственного единичного корня в процессе АР (р). Прием состоит в том, что любой процесс АР(р) можно записать как

Ayt = ттуі-і + ciAyt-i + ... + Cp_iAyt-p+i + et

(8.57)

с її — 0 + ... + 0Р — 1 и соответственно выбранными константами сі, ... ,ср_1. Так как 7г = 0 означает, что 0(1) = 0* то это также означает, что z = 1 является решением характеристического уравнения 0(z) = 0. Таким образом, как и прежде, гипотеза тт = 0 соответствует гипотезе наличия единичного корня, и мы можем ее проверить, применяя соответствующее ^-отношение. Если спецификация АР (р) корректна и при нулевой гипотезе наличия единичного корня, то асимптотические распределения статистик г (тт или т^, вычисленных из процесса (8.57), включая, где уместно, свободный член и временной тренд), те же самые, что и прежде. Критические значения для малых выборок несколько отличаются от табулированных критических значений и предоставлены, например, МакКинно-ном (MacKinnon, 1991).

Напомним, что 9(L) = 1 — 0L — O2L2 — ... — 9PLP — полином порядка р от лагового оператора L см. выше (8.24) (примеч. научн. ред. перевода).

Таким образом, когда процесс yt является процессом АР(р), тест на наличие единственного единичного корня можно построить из регрессии Ayt на yt-i и Ayt-i,... , Ayt-p+i, тестируя значимость «уровневой» переменной yt-i (используя соответствующие односторонние критические значения). Интересно заметить, что при нулевой гипотезе наличия единственного единичного корня все переменные в процессе (8.57) являются стационарными за исключением переменной yt-i Поэтому равенство в процессе (8.57) может иметь смысл, только если не появляется yt-i и 7г = 0, что интуитивно объясняет, почему гипотеза наличия единичного корня соответствует 7г = 0. Включение дополнительных лагов по сравнению со стандартным тестом Дики—Фуллера сделано, чтобы остаточный член в процессе (8.57) асимптотически был процессом белого шума, что требуется для справедливости результатов о распределениях. Поскольку обычно р неизвестно, то желательно выбирать р довольно большим. Если включить слишком много лагов, то это несколько уменьшит мощность тестов, но если включить слишком мало лагов, то асимптотические распределения из таблицы просто недействительны и тесты могут привести к значительно смещенным выводам. Можно пользоваться критериями выбора модели, обсужденными в п. 8.7.4 ниже, или статистической значимостью дополнительных переменных, чтобы выбирать длину лагирования в тестах РДФ.

Для тестирования единичного корня общей (обратимой) модели АРСС также можно использовать регрессию вида (8.57). Сэйд и Дики (Said, Dickey, 1984) привели аргумент, что, когда теоретически число лагов в регрессии возрастает с объемом выборки (с искусно выбранной скоростью), то справедливы те же самые асимптотические распределения и тесты РДФ также обоснованы для модели АРСС с компонентой скользящего среднего. Этот аргумент существенен, поскольку ранее мы видели, что любую модель АРСС (с обратимым полиномом СС) можно написать в виде бесконечного процесса авторегрессии. Это объясняет, почему при тестировании единичных корней компоненты СС обычно не тревожат исследователей

Филлипс и Перрон (Phillips, Perron, 1988) предложили альтернативу расширенным тестам Дики—Фуллера. Вместо добавления дополнительных лагов в регрессии для получения остаточного члена не имеющего никакой автокорреляции, они сохраняют исходные регрессии Дики—Фуллера, но корректируют т-статистики, чтобы принять во внимание (потенциальную) структуру автокорреляции остатков. Эти корректировки на основе коррекций, подобных тем, которые применяются для вычисления гетероскедастично-автокоррелированно-состоятельных стандартных ошибок Невье— Веста (ГАС) (см. главу 4), весьма сложны, и здесь обсуждаться не будут. Критические значения (асимптотические) снова являются теми же, что и в таблице 8.1. Тест Филлипса—Перрона, иногда называемый непараметрическим тестом на наличие единичного корня, как и тест Сэйда—Дики (или тест РДФ), применим к общим моделям АРСС (подробности см. в книге Hamilton, 1994, pp. 506-515). Исследования Монте-Карло не выявляют четкого ранжирования двух тестов относительно их мощности (вероятности отклонения нулевой гипотезы, когда она ложная) в конечных выборках.

Если тест РДФ не позволяет отклонить нулевую гипотезу о наличии одного единичного корня, то можно тестировать гипотезу наличия второго единичного корня, оценивая регрессию A2yt по

и сравнивая ^-отношение коэффициента при переменной Aytс соответствующим критическим значением из таблицы 8.1. Альтернативно наличие двух единичных корней можно тестировать совместно, оценивая регрессию A2yt по

Ду*-ъ Д2Ш-ь Д2Уг-р+і

и вычисляя обычную F-статистику, чтобы тестировать совместную значимость yt-i и Ayt-i. И снова при нулевой гипотезе наличия двойного единичного корня эта тестовая статистика имеет распределение, которое все-таки является не обычным і^-распределением. Процентили этого распределения предоставлены Хасза и Фуллером (Hasza, Fuller, 1979).

8.4.3. Пример: ежеквартальный располагаемый доход

4) Данные доступны в INCOME.

В этом разделе мы рассмотрим ежеквартальный располагаемый доход Великобритании за период с первого квартала 1971 г. по второй квартал 1985 г. (всего 58 кварталов, Т = 58) 4 измеряемый в миллионах фунтов и текущих ценах. График ряда представлен на рисунке 8.3. Как и ожидалось, график ряда показал структуру более или менее монотонного возрастания, и трудно утверждать, что этот ряд является стационарным. Используя вышеизложенную методологию, мы протестировали наличие одного или двух единичных

70000-

корней в чистом доходе. Сначала мы оценили стандартную регрессию Дики—Фуллера со свободным членом и получили

AYt = 496,2 + 0,0131 yt-i+et, (215,0) (0,0064)

(8.58)

что в результате привело к значению ДФ-критической статистики 2,064. Поскольку соответствующее критическое значение на 5\%-ом уровне равно —2,93, это не позволило нам отклонить нулевую гипотезу наличия первого единичного корня. Однако мы должны были убедиться, что мы включали достаточное количество лагов в эту тестируемую регрессию, чтобы сделать остаточный член белым шумом. Таким образом, желательно было также применить диапазон расширенных тестов Дики—Фуллера, подразумевая, что мы добавляем дополнительные лаги AYt к правой части регрессии. Ограничивая внимание только критическими статистиками, результаты с шестью дополнительными лагами оказались следующими:

ДФ РДФ(1) РДФ(2) РДФ(З) РДФ(4) РДФ(5) РДФ(6) 2,064 2,693 1,648 1,792 0,712 0,564 0,912

Хотя тестовые статистики несколько изменились с числом включенных лагов, вывод не изменился, и мы не смогли отклонить наличие первого единичного корня.

Если мы предполагаем наличие первого единичного корня, то мы можем протестировать наличие второго единичного корня. Это тестирование включает регрессии вида

A2Yt = 6 + тгДУ*-і + сі Д2^2_! + ... + et

и нулевая гипотеза соответствует 7г = 0. Результаты оказались

следующими:

ДФ АДФ(1) АДФ(2) АДФ(З) АДФ(4) АДФ(5) АДФ(6)

-8,904 -3,926 -3,768 -2,189 -1,856 -2,160 -2,075

Рисунок 8.4. Квартальные приращения чистого дохода Великобритании, второй квартал 1971 г. — второй квартал 1985 г.

40001

Для тестов более низкого порядка нулевая гипотеза должна быть отклонена, но для тестов от АДФ(З) до АДФ(6) мы больше не могли отклонить наличие второго единичного корня. Если мы посмотрим на график первых разностей временного ряда доходов, который изображен на рисунке 8.4, то там не увидим никаких признаков наличия единичного корня. Фактически, результаты тестов АДФ показывали опасность проверки только критических статистик и решения, что нулевая гипотеза должна быть справедлива, если тест ее не отклоняет. Если мы посмотрим на результаты из регрессий АДФ, то мы увидим, что стандартные ошибки для коэффициента 7г очень большие. Это означает, что тесты не имели большой мощности, и что много альтернативных гипотез также не отклонялось бы (хотя они не могут быть истинными одновременно). Например, тестовая статистика АДФ(4) является отношением оценки для 7г, равной —0,491, с большой стандартной ошибкой, равной 0,265. Кажется разумным заключить, что ежеквартальный располагаемый доход Yt имеет один единичный корень, но не два. Ниже в п. 8.7.5 мы рассмотрим проблему построения соответствующей модели АРСС для AYt.

8.5. Пример: долгосрочный динамический паритет покупательной способности (часть 1)

Чтобы проиллюстрировать скозанное выше, в этом разделе мы уделим внимание эмпирическому примеру, касающемуся цен в двух странах и обменному курсу между этими странами. Если две страны производят торговые товары и нет никаких препятствий к международной торговле, таких как пошлины или операционные затраты, то должен быть справедливым закон единой цены, то есть,

(8.59)

где St — наличный обменный курс (внутренняя валютная цена за единицу иностранной валюты), Pt-(совокупная) цена во внутренней стране, а Р£ — цена в зарубежной стране. Логарифмируя, мы можем написать

st=Pt~ P*t

(8.60)

4.6-

France

4.4

4.2

4.0

3.8

3.6

82

84

86

88

90

—і— 92

94

96

Рисунок 8.5. Логарифм индекса потребительских цен Франции и Италии, январь 1981 г. июнь 1996 г.

(где строчные буквы обозначают соответствующие натуральные логарифмы). Условие (8.60), которое называется абсолютным паритетом покупательной способности (абсолютным ППС), означает, что возрастание уровня внутренней цены должно приводить к равному пропорциональному возрастанию обменного курса. Очевидно, что это условие никогда не будет удовлетворяться практически. Обычно ППС видится как определение обменного курса в долгосрочной динамике. Ниже мы проанализируем вопрос, действительно ли соотношение (8.60) справедливо в долгосрочной динамике. Первым необходимым шагом для этого является анализ свойств переменных, включенных в соотношение (8.60).

5) Данные доступны в РРР.

Наш эмпирический пример касается Франции и Италии за период с января 1981 г. по июнь 1996 г. (Т = 186) 5). Сначала мы построили график двух рядов для логарифма индекса потребительских цен на рисунке 8.5. Ясно, что на этом рисунке видна нестационарность этих двух рядов, в то же время также очевидно, что два ряда имеют различные темпы роста. Конечно, формальные тесты наличия единичного корня, можно получить из регрессий подобных регрессии (8.56) или (8.57). Для логарифма французского индекса потребительских цен, мы получили следующие результаты, включая константу, но без лаговых разностей в модели:

Др* = 0,0694 0,0146 Pt-i+et. (0,0042) (0,0009)

Значение критической статистки Дики—Фуллера равно —15,67, в то время как 5\%-ое критическое значение равно —2,87, означая, что нулевая гипотеза наличия единичного корня должна отклоняться на любом приемлемом уровне значимости. Однако весьма вероятно, что простая модель АР(1), примененная в этой регрессии, является слишком ограниченной. Некоторые пакеты программного обеспечения (как, например, MicroFit) имеют опцию выполнения для широкого диапазона тестов РДФ одновременно. Реализация этой опции привела к результатам, представленным в двух первых столбцах таблицы 8.2. Критические значения равны —2,877 для тестов без тренда и —3,435 для тестов с трендом 6

Результаты ясно показали опасность тестирования наличия единичного корня для слишком ограниченной модели. Очевидно, что 12-ый лаг важен при включении в регрессии РДФ, и это неудивительно при условии, что мы имели ежемесячные данные и что сезонные структуры в ценах являются весьма обычными. Таким образом, несмотря на то, что большинство тестовых значений в вышеприведенной таблице предполагает отклонение гипотезы наличия единичного корня, мы не смогли отклонить эту гипотезу, когда мы рассмотрели подходящий тест РДФ, соответствующий 12-ти лагам, включенным в регрессию. В пользу такого решения также приводит просмотр графиков, которые ясно показывают некоторый источник нестационарности.

Критические значения несколько изменяются от одной строки к другой. Это обусловлено изменением числа наблюдений, которые доступны для оценивания регрессий РДФ.

Для логарифмического индекса потребительских цен в Италии Pt, мы пришли к довольно похожим результатам, которые показаны в последних двух столбцах таблицы 8.2. Вывод такой же: мы не отклоняем нулевую гипотезу, что логарифмический ценовой временной ряд содержит единичный корень. Для логарифма обменного

курса St, измеренного в лирах по отношению к франку, тесты Дики— Фуллера и расширенные тесты Дики—Фуллера приводят к результатам таблицы 8.3, в которой мы сообщаем о тестах РДФ только до лага 6. Результаты здесь совершенно ясны. Ни в одном из случаев мы не может отклонить нулевую гипотезу наличия единичного корня.

Если паритет покупательной способности между Францией и Италией справедлив в долгосрочной динамике, то можно ожидать, что краткосрочные динамические отклонения St — (pt — Pt)i соответствующие реальному обменному курсу, ограничены и не имеют значительных отклонений. Другими словами, можно ожидать, что временной ряд из отклонений st — (pt — Pt) будет стационарным. Таким образом, тестирование ППС возможно на основе анализа логарифма реального обменного курса rst = St — (pt — Pt)• Временной

ряд логарифмов реального обменного курса представлен графиком на рисунке 8.6, в то время как результаты расширенных тестов Дики—Фуллера для этой переменной представлены в таблице 8.4.

Результаты показывают, что нулевую гипотезу наличия единичного корня в rst (соответствующую нестационарности) отклонить невозможно. Следовательно, нет никакого свидетельства представления паритета покупательной способности (ППС) в такой форме. Одна из причин, почему мы не можем отклонить нулевую гипотезу,

Италия—Франция, январь 1981 г. июнь 1996 г.

просто, состоит в том, что наша выборка содержит недостаточную информацию, то есть: наша выборка слишком коротка, и стандартные ошибки просто слишком высоки, чтобы отклонить гипотезу единичного корня. Эта проблема, часто встречается при тестировании паритета покупательной способности. Критический обзор этой литературы можно найти у Фрута и Рогоффа (Froot, Rogoff, 1996). В следующей главе мы также проанализируем, справедлива ли некоторая более слабая форма ППС.

8.6. Оценивание моделей АРСС

Предположим, мы знаем, что временной ряд данных yi, ?/2, • • • , Ут порожден процессом АРСС порядка р, q. В зависимости от спецификации модели и предположений о распределениях, мы готовы оценить неизвестные параметры обычным методом наименьших квадратов, нелинейным методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия.

8.6. 7. Метод наименьших квадратов

С помощью метода наименьших квадратов параметры модели вычисляются так, что остаточная сумма квадратов является минимальной. Применение МНК особенно легко для моделей авторегрессии. Рассмотрим модель АР (р)

Vt = Oxyt-i + 92yt-2 + •.. + Оруг-р + eu (8.61)

где St — остаточный член белого шума, который не коррелирован ни с каким членом, датированным t — 1 или ранее. Следовательно, мы имеем, что

E{yt-jSt] = О для j = 1, 2,... , р,

то есть, остаточные члены и объясняющие переменные являются одновременно некоррелироваными, и МНК, примененный к модели (8.61), обеспечивает состоятельные оценки. Таким образом, оценивание модели авторегрессии не отличается от оценивания линейной модели регрессии с лагированной зависимой переменной.

Для моделей скользящего среднего оценивание несколько более сложное. Предположим, что мы имеем модель С С (1)

yt = et + aet-i.

Поскольку не наблюдается, то здесь мы не можем применить методы регрессии. В теории обычный метод наименьших квадратов минимизировал бы

т

5(a) = ^2(уі аєі-і)2.

t=2

Возможное решение появиться, если мы запишем 6t-i в этом выражении как функцию от наблюдаемых yt. Это возможно только, если полином С С является обратимым. В этом случае мы можем использовать, что

оо

£t-i = ^2(-Oi)Jyt-j-u з=о

(см. выше) и записать

На практике yt не наблюдается для t = 0,-1,..., поэтому мы должны исключить бесконечную сумму в этом выражении, чтобы получить приближенную сумму квадратов

~ т / 1~2 2

S(a) = Y,[vt-a Y,(-<*)jVt-j-i ) • (8.62)

t=2 ^ j=0 '

Поскольку асимптотически разность между S(a) и 5(a) исчезает, если Г стремиться к бесконечности, то минимизация приближенной суммы квадратов (8.62) относительно а приводит к состоятельной оценке а для а. К сожалению, выражение (8.62) является полиномом высокого порядка по а и поэтому имеет очень много локальных минимумов. Поэтому численная минимизация суммы (8.62) является сложной. Однако, поскольку мы знаем, что — 1 < а < 1, то можно выполнить поиск по сетке (например, —0,99, —0,98, —0,97, ..., 0,98, 0,99). Получающаяся в результате оценка нелинейного метода наименьших квадратов для а является состоятельной и асимптотически нормальной.

8.6.2. Метод максимального правдоподобия

Альтернативная оценка для моделей АРСС получается с помощью метода максимального правдоподобия (ММП). Для этого метода необходимо сделать допущение о виде распределения £t, которое обычно предполагается нормальным. Хотя предположение нормальности строгое, тем не менее, ММП-оценки очень часто состоятельны даже в случаях, когда et имеет другое распределение. Условную по начальному значению функцию логарифма правдоподобия можно написать как

log L(a, 0, a2) = -^=-1 log (2тга2) 5 £ 4>

Z Z t=2a

где St — функция коэффициентов a и 0, yt и ее предистории. Для модели АР(1): St — yt — Oyt-i 5 а для модели СС(1):

t-2 t-1

et = yt-a ^{-a)3yt-j-i = ^2(-a)Jyt-j.

j=0 j=0

Обе полученные таким образом логарифмическте функции правдоподобия условны по начальному значению. Для случая АР(1), у рассматривается как заданное, в то время как для случая СС(1) начальное условие есть so = 0. Поэтому получающиеся в результате оценки называются оценками условного максимального правдоподобия. Оценки условного максимального правдоподобия для а и как легко видеть, идентичны оценкам наименьших квадратов.

Точная оценка максимального правдоподобия объединяет условное правдоподобие с правдоподобием от начальных наблюдений. Например, в случае АР(1) к логарифму правдоподобия добавляется следующий член:

1 ,п ч 1 / а2 1у2(1-в2)

который следует из того факта, что маргинальная плотность у является нормальной плотностью со средним значением нуль и дисперсией сг2/(1 — в2). Для процесса скользящего среднего точная функция правдоподобия несколько более сложная. Если Г большое, то способ, с помощью которого мы вводим в рассмотрение начальные значения, оказывает пренебрежимо малое влияние, так что условные и точные оценки максимального правдоподобия являются асимптотически эквивалентными в случаях, когда полиномы АР и С С являются обратимыми. Подробности можно найти у Гамильтона (Hamilton, 1994, Chapter 5).

Из результатов, приведенных выше, ясно, что оценивание моделей авторегрессии проще, чем оценивание моделей скользящего среднего. Оценивание моделей АРСС, которые объединяют компоненту авторегрессии и компоненту скользящего среднего, тесно связано с поведением ММП-оценок параметров СС. Поскольку любую (обратимую) модель АРСС можно аппроксимировать моделью авторегрессии бесконечного порядка, то общая практика все более и более приходит к тому, что вместо спецификаций СС или АРСС применяется спецификация авторегрессии, учитывающая достаточное число лагов. В частности, если число наблюдений не слишком мало, то практически этот подход может работать вполне прилично. Конечно, представление С С того же самого процесса может быть более экономным. Другое преимущество моделей авторегрессии состоит в том, что они легко обобщаются на многомерные временные ряды, с помощью которых одновременно хотят смоделировать множество экономических переменных. Это приводит к так называемым векторным моделям авторегрессии (ВАР-ам), которые обсуждаются в следующей главе.

8.7. Выбор модели

В большинстве случаев не существует никаких экономических резонов для выбора конкретной спецификации модели. Поэтому подходящую модель временного ряда в большой степени определяют данные. Перед оцениванием любой модели обычно оценивают коэффициенты автокорреляций и частных автокорреляций непосредственно из данных. Часто это приводит к некоторой идее о подходящей модели. После проведения оценивания одной или более моделей об их качестве позволяет судить проверка остатков, являются ли остатки более или менее белым шумом, и сравнение оцененных моделей с их альтернативными спецификациями. Эти сравнения можно делать на основе тестов статистической значимости или с помощью применения критериев выбора индивидуальной модели.