9.5.4. пример: долгосрочный динамический паритет покупательной способности (часть 3)

9.5.4. пример: долгосрочный динамический паритет покупательной способности (часть 3)

В этом пункте параграфа мы рассмотрим вышеприведенный пример, касающийся долгосрочного динамического паритета покупательной способности. Мы проанализируем существование одного или более коинтегрирующих соотношений между тремя переменными 5t, Pt и р, используя метод Иохансена, описанный в предыдущем пункте. Эта стандартная опция доступна, например, в пакете программ MicroFit.

Первым шагом этой процедуры является определение р, максимального порядка лагов в представлении авторегрессии (9.42). По-видимому, в общем случае слишком мало лагов в модели довольно легко приводит к отклонению нулевых гипотез, в то время как слишком много лагов в модели снижают мощность тестов. То есть, существует некоторая оптимальная длина лагирования. Кроме определения р, мы должны решить вопрос о том, включать или нет временной тренд в представление авторегрессии (9.42). При отсут

ствии временного тренда, свободный член автоматически включается в коинтегрирующее соотношение (я). Рассмотрим более или менее произвольный случай р = 3 (без временного тренда). Первый шаг в процедуре Иохансена приводит к результатам 17 представленным в таблице 9.10. Эти результаты представляют оцененные собственные значения Ai,...,Afc (к = 3) в порядке убывания. Вспомним, что каждое ненулевое собственное значение соответствует коинтегриру-ющему вектору. Также представлен набор критических статистик, основанный на этих оцененных собственных значениях. Эти результаты показывают, что:

Результаты в этом пункте получены с помощью программного обеспечения MicroFit 4.0, Oxford University Press.

Нулевую гипотезу отсутствия коинтеграции (г = 0) при тестировании против гипотезы наличия одного коинтегрирующего вектора (г = 1) следует отклонить на 5\%-ом уровне значимости, поскольку 65,5 превышает критическое значение 22,04.

Нулевую гипотезу отсутствия или наличия одного коинтегрирующего вектора (г < 1) против альтернативной гипотезы двух коинтегрирующих соотношений (г = 2) также следует отклонить.

Нулевая гипотеза наличия двух или менее коинтегрирующих векторов против альтернативной гипотезы г — 3 не отклоняется. Вспомним, что гипотеза г = 3 соответствует стационарности каждого из трех рядов, которая также была отклонена одномерными тестами наличия единичного корня.

Опираясь на эти результаты, мы должны выбрать число коинтегрирующих векторов. Принимая во внимание описанные выше результаты, несколько удивительно, что тесты Иохансена, по-видимому, указывают на наличие двух коинтегрирующих соотношений. На первых шагах процедуры Энгле—Грэнжера мы не смогли отклонить отсутствие коинтеграции в любом из случаев, которые мы рассматривали. Возможное объяснение этого факта может состоять в том, что число лагов в ВАР-модели является слишком малым. Подобную ситуацию мы встречали прежде с одномерными тестами наличия единичного корня для pt и pi, когда включение слишком малого числа лагов могло привести нас к неправильному выводу о том, что ряды являются стационарными, или, — в данном случае, — что ряды Pt, Pt и st являются коинтегрированными18). В таблице 9.11 показано, что происходит в случае, если мы повторяем вышеупомянутую процедуру с длиной лагирования р — 12, на основе того факта, что мы используем ежемесячные данные.

Заметим, например, что «коинтегрирующий» вектор (0, 0, і/ соответствует стационарности последнего элемента.

Что является наиболее ясным из этих результатов, так это то, что резоны для подтверждения наличия одного или двух коинтегрирующих векторов намного слабее, чем прежде. Первый тест, который рассматривает нулевую гипотезу отсутствия коинтеграции (г = 0) против альтернативной гипотезы наличия одного коинтегрирующего соотношения (г = 1) не приводит к отклонению нулевой гипотезы. Второй тест однако, подразумевает «неуверенное» отклонение гипотезы отсутствия или существования одного коинтегрирующего вектора.

Предположим, что мы продолжаем наш анализ, несмотря на эти наши замечания, и принятием решения, что число коинтегрирующих векторов равно единице (г = 1). Следующая часть результатов, представленная в таблице 9.12, состоит из оцененного коинтегрирующего вектора /3. Нормированный коинтегрирующий вектор находится в третьем столбце этой таблицы и соответствует выражению

st = 6,347р* 14,755р*, (9.54)

которое, по-видимому, не согласуется с экономически интерпретируемым долгосрочным динамическим соотношением.

Поскольку вывод о наличии в данном примере одного коинтегрирующего соотношения между нашими тремя переменными, скорее всего, неправилен, мы не рассматриваем этот пример дальше. Для соответствующего тестирования долгосрочного динамического паритета покупательной способности с помощью процедуры Иохансена, нам, вероятно, потребовался бы более длинный временной ряд. Альтернативно, некоторые авторы используют одновременно отдельные группы стран и применяют методы коинтеграции панельных данных (см. главу 10). Еще одна проблема может возникнуть по поводу точности измерения двух индексов цен при их сравнении в двух странах.

9.6. Пример: спрос на деньги и инфляция

Одно из преимуществ коинтеграции в многомерных моделях временного ряда заключается в том, что с ее помощью можно улучшить прогнозы. Дело в том, что прогнозы, построенные из коинтегриро-ванной системы взаимосвязаны в силу существования одного или более долгосрочных динамических соотношений. Как правило, это преимущество реализуется при среднесрочном и долгосрочном прогнозировании (ср. Engle, Yoo, 1987). Хоффман и Ращ (Hoffman, Rasche, 1996), Лин и Тсей (Lin, Tsay, 1996) эмпирически исследовали эффективность прогнозов на основе коинтегрированной системы. В этом параграфе, основанном на исследованиях Хоффмана и Раща, мы рассмотрим эмпирический пример пятимерного векторного процесса. Эмпирические вычисления проводились на ежеквартальных данных Соединенных Штатов Америки с первого квартала 1954 г. по четвертый квартал 1994 г. (Т = 164) по следующим переменным:

mt — логарифм денежных остатков МІ в реальном выражении; in fit — ежеквартальный уровень инфляции (в \% ежегодно); cprt — оценочная стоимость коммерческих бумаг; yt — логарифм валового внутреннего продукта в реальном выражении (в миллиардах долларов 1987 г.); tbrt — ставка по казначейским векселям.

Оценочная стоимость коммерческих бумаг и ставка по казначейским векселям рассматриваются как рисковая и безрисковая доходности, соответственно, на ежеквартальном горизонте. Ряды для Мій валового внутреннего продукта имеют сезонные циклы. Хотя можно было бы обсудить наличие единичного корня в некоторых из этих рядов, мы будем следовать за Хоффманом и Ращем (Hoffman, Rasche, 1996) и предполагать, что эти пять переменных все хорошо описываются процессом 1(1).

Априорно можно было предполагать наличие трех возможных коинтегрирующих соотношений, управляющих долгосрочным динамическим поведением этих переменных. Во-первых, мы можем специфицировать уравнение спроса на деньги в виде

mt = ai+ fiuyt + Pi5tbrt + єи,

где Р14 обозначает эластичность по доходу, а /Зі$ эластичность по процентной ставке. Можно ожидать, что /Зы близко к единице и соответствует унитарной эластичности по доходу, и что /З15 < 0. Во вторых, если реальные процентные ставки являются стационарными, мы можем ожидать, что

in flt = а2 + p2btbrt + e2t

') Данные доступны в MONEY.

соответствует коинтегрирующему соотношению с /З25 = 1. Оно называется соотношением Фишера, где мы используем фактическую инфляцию вместо ожидаемой инфляции20^. В-третьих, можно ожидать, что рисковая премия, которая измеряется разностью между оценочной стоимостью коммерческих бумаг и ставкой по казначейским векселям, является стационарной, так, что третье коинтегри-рующее соотношение задается в виде

cprt = a3 + 33rDtbrt + e3t с /?35 = 1.

Прежде чем перейти к анализу векторного процесса этих пяти переменных, рассмотрим МНК-оценки трех вышеприведенных регрессий. Они представлены в таблице 9.13. Для более удобного сравнения с последующими результатами, наложим условия, в соответствии с которыми левосторонние переменные включаются в коинте-грирующий вектор (если он существует) с коэффициентом —1. Заметим, что стандартные ошибки МНК-метода неприемлемы, если переменные в регрессии имеют нулевой порядок интегрируемости. За исключением уравнения рисковой премии, і?2-тьі не близки к единице, что является неформальным требованием для коинтегрирующей регрессии. Статистики Дарбина—Уотсонамалы, и если бы критические значения из таблицы 9.3 являлись приемлемыми, то мы отклонили бы нулевую гипотезу отсутствия коинтеграции на 5\%-ом уровне значимости для последних двух уравнений, но не для уравнения спроса на денежные средства. Вспомним, что критические значения в таблице 9.3 опираются на условие, что все временные ряды являются случайными блужданиями, что возможно корректно для временного ряда процентной ставки, но может быть несправедливым для денежной массы и валового внутреннего продукта. С другой стороны мы можем протестировать наличие единичного корня в остатках этих регрессий с помощью модифицированных (по Девидсону—МакКиннону) расширенных тестов Дики—Фуллера. Результаты не очень чувствительны к числу включенных лагов, и тестовые статистики 6 лагов представлены в таблице 9.13. Как видно из таблицы 9.2 5\%-ое асимптотическое критическое значение для регрессии, включающей три переменные, равно —3,77, а для регрессий с двумя переменными равно —3,37. Таким образом, только для уравнения рисковой премии мы можем отклонить нулевую гипотезу отсутствия коинтеграции.

Эмпирические свидетельства существования предполагаемых коинтегрирующих соотношений между этими пятью переменными являются несколько неоднозначными. Только для уравнения рисковой премии мы находим, что R2 близок к единице, статистика Дарбина—Уотсона достаточно высокая, и что отклонение гипотезы наличия единичного корня в МНК-оцененных остатках значимо по РДФ тесту. Для двух других регрессий существуют лишь весьма слабые причины отклонить нулевую гипотезу отсутствия коинтеграции. Потенциально это вызвано недостатком мощности тестов, которые мы применяем, и возможно, что многомерный векторный анализ представит более сильное свидетельство существования коинтегрирующих соотношений между этими пятью переменными. Некоторая дополнительная информация предоставляется, если мы построим график МНК-оцененных остатков для этих трех регрессий. Если регрессии соответствуют коинтеграции, то эти остатки могут интерпретироваться как ошибки долгосрочного динамического равновесия, которые должны быть стационарными и флуктуировать вокруг нуля. Для этих трех регрессий остатки показаны в рисунках 9.1, 9.2 и 9.3, соответственно. Хотя визуальный анализ этих

графиков неоднозначен, однако на основе графиков остатков регрессий спроса на деньги и рисковой премии возможно сделать вывод в пользу стационарности. Для уравнения Фишера текущий выборочный период предоставляет меньше подтверждений возвращения к среднему значению.

Результаты, представленные в этой таблице, получены с помощью MicroFit 4.0; критические значения взяты из таблицы 9.9.

Первый шаг в подходе Иохансена включает тестирование наличия коинтегрирующего ранга г. Чтобы вычислить эти тесты, мы должны выбрать максимальную длину лагирования р в векторной модели авторегрессии. Выбор р слишком малым будет приводить к недостоверным тестам, а выбор р слишком большим может привести к потере мощности. В таблице 9.14 представлены результаты21^ тестов коинтегрирующего ранга для р = 5 и р — 6. Как видно из результатов, существует некоторая чувствительность относительно выбора максимальной длины лагирования в векторных авторегрессиях, хотя качественно вывод изменяется совсем незначительно. На 5\%-ом уровне все тесты отклоняют нулевые гипотезы отсутствия или наличия одного коинтегрирующего соотношения. Тесты проверки нулевой гипотезы о том, что г — 2, отклоняют эту гипотезу только на 5\%-ом уровне значимости, хотя и в самой малой степени, если мы выбираем р = б и применяем критическую статистику следа. Как и прежде, мы должны определить коинтегрирующий ранг г, опираясь на эти результаты. Самый очевидный выбор г = 2, хотя можно рассмотреть также г = 3 (см. Hoffman, Rasche, 1996).

Если мы ограничиваем ранг долгосрочной динамической матрицы рангом два, то мы можем оценить коинтегрирующие векторы и модель коррекции ошибок методом максимального правдоподобия с помощью процедуры Иохансена. Напомним, что статистически определяется только пространство, натянутое на коинтегрирующие векторы, а не сами эти векторы по отдельности. Чтобы идентифицировать индивидуальные коинтегрирующие соотношения, мы, соответственно, должны каким-либо образом нормировать коинтегрирующие векторы. Если г — 2, то необходимо наложить два ограничения нормировки на каждый коинтегрирующий вектор. Заметим, что в коинтегрирующих регрессиях в таблице 9.13 априорно накладывается ряд ограничений, включая —1 для переменных в левых частях и нулевые ограничения на некоторые из коэффициентов других переменных. В настоящем случае мы должны наложить два ограничения и, предполагая, что соотношения спроса на деньги и рисковой

премии являются наиболее вероятными кандидатами, мы наложим ограничения, что mt, и cprt имеют коэффициенты —1, 0 и 0, —1, соответственно. По экономическим соображениям можно ожидать, что in fit не входит ни в один из коинтегрирующих векторов. При этих сформулированных выше ограничениях коинтегрирующие векторы оценены методом максимального правдоподобия вместе с коэффициентами векторной модели коррекции остатков. Результаты для коинтегрирующих векторов представлены в таблице 9.15.

Коинтегрирующий вектор для уравнения рисковой премии имеет близкое соответствие с нашими априорными ожиданиями по поводу коэффициентов при in flt, yt и tbrt, которые оказались незначимо отличающимся от нуля, нуля и единицы, соответственно. В соотношение, соответствующее уравнению спроса на деньги, переменная inflt входит значимо. Напомним, что mt соответствует реальному спросу на деньги, который обычно не должен зависеть от уровня инфляции. Оценка коэффициента, равная —0,023, означает, что при прочих равных условиях номинальный спрос на деньги (mt + inflt) возрастает с уровнем не пропорционально инфляции, а несколько меньше.

Можно протестировать наши априорные коинтегрирующие векторы с помощью тестов отношения правдоподобия. Эти тесты требуют, чтобы модель была оценена повторно с наложением некоторых дополнительных ограничений на коинтегрирующие векторы. Таким образом, мы можем протестировать следующие гипотезы: 22^

Щ:(312 = 0, /?і4 = 1;

Hq : 022 = 024 = 0, 025 = 1 И

Щ '■ 012 = 022 = 024 = 0, /?14= #25 = 1,

где /З12 обозначает коэффициент при in fit в уравнении спроса на деньги, а /З22 и /З24 — коэффициенты при инфляции и валовом внутреннем продукте в уравнении рисковой премии, соответственно. Значения логарифмической функции правдоподобия для полной модели, оцененной при ограничениях, наложенных в соответствии с гипотезами Я0а,Я05иЯ0с, соответственно, равны 782,3459, 783,7761 и 782,3196. Критические статистики отношения правдоподобия, определенные как удвоенная разность между значением безусловной функции правдоподобия (808.277) и значениями логарифмических функций правдоподобия для этих трех нулевых гипотез, таким образом, равны 51,86, 49,00 и 51,91. При нулевых гипотезах асимптотические распределения критических статистик являются обычными хи-квадрат распределениями с числом степеней свободы, заданным числом тестируемых ограничений (см. главу 6). Сравнения с критическими значениями хи-квадрат распределения с 3, 2 или 5 степенями свободы, ясно показывают, что каждую из нулевых гипотез следует отклонить.

В качестве последнего шага мы рассмотрим векторную модель коррекции остатков для этой системы. Эта модель соответствует ВАР-модели порядка р — 1 = 5 для рядов первых разностей анализируемых переменных с включением двух членов коррекции остатков в каждое уравнение. Заметим, что число параметров, оцененных в этой векторной модели коррекции остатков, намного больше 100, поэтому мы ограничимся только частью результатов.

Два выражения для модели коррекции остатков (МКО) имеют

вид

Здесь тесты фактически являются тестами со сверхидентифицируемыми ограничениями (см. главу 5). Мы интерпретируем их как регулярные тесты проверки гипотез с априорно принятыми ограничениями, которые представлены в таблице 9.15.

MKOlt = -mt 0,023m//t + 0,425y* 0fi28tbrt + 3,362; MK02* = -cprt 0,041m//* + -0,037yf + lfil7tbrt + 0,687.

Коэффициенты коррекции в 5 х 2 матрице 7 с их соответствующими стандартными ошибками представлены в таблице 9.16. Долгосрочное динамическое уравнение спроса на деньги значимо вносит вклад в краткосрочную динамику как спроса на деньги, так и дохода. Краткосрочное динамическое поведение спроса на деньги, инфляции и оценочной стоимости коммерческих бумаг оказывает значимое воздействие на долгосрочное динамическое соотношение рисковой премии. Нет никакого статистического подтверждения, что ставка по казначейским векселям корректирует какое-либо отклонение от долгосрочного динамического равновесия так, чтобы ее можно было бы рассматривать как слабо экзогенную.

9.7. Заключительные замечания

Информация по коинтеграции и связанным с ней вопросами отражает темы последних исследований, которые постоянно развиваются. В этой главе мы вкратце обсуждали некоторые темы, в то время как часть из них вообще не рассматривали. К счастью, существует значительное число специализированных учебников по этой теме,

которые обеспечивают более широкий охват материала. Примерами относительно «нетехницизированных» учебников являются: Mills (1990); Enders (1995); Harris (1995) и Franses (1998). Техническое обсуждение доступно в работах Liitkepohl (1991); Cuthbertson, Hall, Taylor (1992); Banerjee et al. (1993); Hamilton (1994); Johansen (1995); и Boswijk (1999).

Упражнения

Упражнение 9.1 (теория коинтеграции)

а. Предположим, что два ряда yt и Xt являются интегрируемыми

порядка 1,1(1), и предположим, что yt—f3Xt и yt—foxt являются

1(0). Покажите, что /Зі = /З2 9 продемонстрировав тем самым,

что может быть только один (единственный) коинтегрирующий

параметр.

б. Объясните интуитивно, почему статистика Дарбина—Уотсона в

регрессии 1(1) переменных yt по xt информативна в вопросе

существования коинтеграции между yt и xt.

в. Объясните, что означает «суперсостоятельность».

г. Рассмотрите три 1(1) переменные yt, #t и ztПредположите, что

yt и xt коинтегрированы, и что xt и zt коинтегрированы. Означает ли это, что yt и zt также коинтегрированы? Почему (нет)?

Упражнение 9.2 (коинтеграция)

Рассмотрим следующее очень простое соотношение между агрегированными сбережениями St и агрегированным доходом Yt.

St = a + PYt + eu £ = 1,...,Т. (9.55)

Для некоторой страны это соотношение оценивалось методом наименьших квадратов в период с 1946 г. по 1995 г. (Т = 50). Результаты представлены в таблице 9.17.

Предположим, что ряды St и Yt являются стационарными. (Указание: если нужно, по первой совокупности вопросов обратитесь к главе 4.)

а. Как бы Вы интерпретировали оценку коэффициента 0,098 для переменной дохода?

б. Объясните, почему результаты показывают, что возможна проблема положительной автокорреляции. Можете ли Вы привести

аргументы, почему в экономических моделях положительная

автокорреляция более вероятна, чем отрицательная автокорреляция?

в. Каковы эффекты влияния автокорреляции на свойства оценки

наименьших квадратов? Подумайте о несмещенности, состоятельности и о свойстве наилучшей линейной несмещенной оценки (НЛНО).

г. Опишите два различных подхода для решения проблемы автокорреляции в вышеупомянутом случае. Какой подход Вы бы

предпочли?

Теперь предположим, что St и Yt являются нестационарными 1(1)-рядами.

д. Существуют ли признаки, что соотношение между этими двумя

переменными является «ложными»?

е. Объясните, что мы подразумеваем под понятием «ложных регрессий».

ж. Есть ли доводы в пользу существования коинтегрирующего соотношения между St и Yf?

з. Объясните, что мы подразумеваем под понятием «коинтегрирующее соотношение».

и. Опишите два различных теста, которые можно использовать для

тестирования нулевой гипотезы, что St и Yt некоинтегрированы.

к. Как Вы интерпретируете оценку коэффициента 0,098 в случае гипотезы, что St и Yt являются коинтегрированными?

л. Существуют ли причины, чтобы откорректировать автокорреляцию в остаточном члене, при оценивании коинтегрирующей регрессии?

м. Объясните интуитивно, почему оценивание коинтегрирующего параметра суперсостоятельно.

н. Предположив, что St и Yt являются коинтегрированными, опишите, что мы подразумеваем под механизмом коррекции остатков. Приведите пример. О чем он говорит?

о. Как мы можем состоятельно оценить модель коррекции остатков?

Упражнение 9.3 (коинтеграция — эмпирический анализ)

В файлах INCOME мы находим ежеквартальные данные относительно британского номинального потребления и дохода за период с первого квартала 1971г. по второй квартал 1985 г. (Т = 58). Часть этих данных использовалась в главе 8.

а. Протестируйте наличие единичного корня в ряде потребления,

используя несколько расширенных тестов Дики—Фуллера.

б. Постройте МНК-регрессию, объясняющую зависимость потребления от дохода. Протестируйте наличие коинтеграции, используя два различных теста.

в. Постройте МНК-регрессию, объясняющую зависимость дохода

от потребления. Протестируйте наличие коинтеграции.

г. Сравните результаты оценивания и Д2-ты последних двух регрессий.

д. Определите член коррекции остатков в одной из этих двух регрессий и оцените модель коррекции остатков для приращения

в потреблении. Протестируйте, является ли коэффициент коррекции нулем.

е. Оцените модель коррекции остатков для приращения в доходе.