Глава 6 банки и банковская система

Глава 6 банки и банковская система

Теория: Сравнение условий кредиторов

Люди, и особенно банкиры, с давних времен заметили, что кредиты могут даваться и действительно даются на разных условиях. Одно и то же число, фигурирующее в различных кредитных договорах в качестве процента, означает иногда разные реальные цены кредита. Например, 50\% годовых вперед — это совсем не то, что 50\% после года пользования кредитом. Действительно, при уплате 50\% вперед заемщик получает на руки 50\% кредита и возвращает 100\% через год, то есть платит 100\% годовых. Тогда как, заплатив за 100\% кредита на руки в начале года 150\%, в конце года мы имеем только 50\% годовых. Этот пример прост, но в жизни и крупные кредиты, и мелкие бытовые нередко и получаются частями, и возвращаются не сразу, тоже частями. Не зная основ финансовой математики, люди плохо ориентируются в этих своеобразных ценах рынка ссудного кали-тала. Необходимость общего стандарта цен очевидна. В качестве эталона используется эффективная ставка процента (термин, принятый в Европе и в России), или, что то же самое, APR (термин, принятый в США от начальных букв Annual Percentage Rate — годовая ставка процента). Эффективная ставка процента (ij определяется как ставка продукта для следующей стандартной схемы кредита:

t = 1 год

100\% суммы кредита выдается заемщику в начале года

100\% суммы кредита + 1Э погашается заемщиком в конце года

Математически, используя общепринятые банковские правила или правила, специально оговоренные в кредитных договорах, можно оценить любую схему кредита через APR. Важность этого трудно переоценить. В Америке принят федеральный закон, который требует информировать заемщиков об истинной цене кредита, то есть об APR. А заемщиками в рыночной экономике выступают все! Это и владельцы кредитных карточек, это и покупатели в рассрочку, которые используют так называемый потребительский кредит, это, естественно, и фирмы, и государство. Схема эффективз ой ставки процента нуждается в уточнении: как определять су лму процента для срока меньше года? Следуя обычной банковской практике, для этого используют простой процент, если пр^аент годовых не слишком высок — до 40-50\%. В условиях и;і {зляции высокий процент обсчитывается по правилу сложного процента сначала по кварталам, затем по месяцам, а в худшем случае — по чеделям и дням. Четких и однозначных правил в мире банков на этот счет нет.

В условиях инфляции возникает необходимость учета роста цен. Соответствующая ставка процента получила название реальной:

1 + і

1 + і

р индекс роста цен

где ір и ік — реальный и номинальный проценты.

Может ли ставка банковского процента быть отрицательной?

Номинальная — вряд ли, а реальная — да. Когда инфляция обгоняет ставку процента, то реально в банке деньги не растут, а уменьшаются. Так было в России в начале 90-х годов. Например, в 1993 г. инфляция составила 950\%, а банк «Империал» давал 650\% годовых. Таким образом, реальная ставка процента была отрицательной:

100 + 650 100 + 950

100\% = -28,6\%.

Задачи с решениями

6.А. Как выгоднее оформить бессрочный вклад: под 200\% годовых или под 35\%, начисляемых ежеквартально? Учтите, что «внутри» года и «внутри» квартала во втором случае банк начисляет простые проценты.

До какого-то момента Т0 выгоднее иметь 200\% годовых, а

после Тп

35\% «квартальных».

Например, за I квартал по первому варианту получим:

= 50\%,

(1,35)" •(

1 +

а по второму — только + 35\%, но при t = 1 год: (1.354 1)-100\% = 232\% > 200\%. Фактически в задаче нужно найти Т0 из уравнения

35 Г„ 90 • п , 200 Т„

■JL) . ! + 200 / 100

100 90 / " • 100 360

при 0 < Т0 90 • п < 90, где п — целое число кварталов в течение периода Т0, а Т0 измеряется в днях по банковским правилам (в месяце 30 дней).

Решение этого уравнения с двумя неизвестными не столь уж очевидно.

1. Для начала найдем п:

п = 3, так как (1.35)8 = 2,46 < 1 + = 2,5.

2. Имеем в результате уравнение с одним неизвестным: l'353-(l + ^-0,35)= 1 + 4.

Отсюда Т0 = 279,97 = 280 дней, точнее — это 10-й день четвертого квартала, так как расчет ведется по правилам коммерческих банков.

Следовательно, ответ: до 10-го дня четвертого квартала выгоднее иметь 200\% годовых, а после — выгоднее становятся условия ежеквартальной индексации по 35\%.

6.Б. Заемщик получил 500 тыс. руб. в кредит на следующих условиях: вернуть через год 300 тыс. руб. и еще через год — 405 тыс. руб. Какая эффективная ставка процента предусмотрена этим кредитным договором?

Решение:

Приводим выплаты к начальному моменту, обозначив через х эффективную ставку процента в долях:

300 405

+ -—-г = 500,

1 + х (1 + х)

откуда х = 0,2, или 20\%.

6.В. Две фирмы предлагают проекты строительства дома отдыха. Первая берется построить за два года и просит в первом году 200 млн. руб., а во втором — 300 млн. руб. Вторая фирма нуждается в трехлетних инвестициях: 90, 180 и 288 млн. руб. соответственно. Какой из этих проектов дешевле, если для сравнения использовать 20\% -ную ставку дисконтирования?

Решение:

зоо

Оценка I варианта (в млн. руб.): 200 + -уу = 450.

180 288

Оценка II варианта: 90 + уу + ууу = 440.

6.Г. Что было для вкладчика лучше в 1993 году: 500\% годовых в рублях или 35\% — в долларах, если курс доллара вырос с 450 руб. до 1250 руб. (расходами на конвертацию можно пренебречь), а инфляция составила примерно 900\% ?

Решение:

Обозначим через I (R) индекс роста номинального рублевого вклада:

т(т 100 + 500 я Индекс же роста номинального долларового вклада составил:

I(D) ~ ~ш 1'35'

что в переводе на номинальный рублевый вклад дало:

ID) = 1,35 • ^ = 3,75.

Но при инфляции в 900\% индекс цен равен 10. Поэтому реальные вклады сокращались:

1(R) = 0,6, a 1(D) = 0,375.

Потери на условиях 500\% годовых в рублях составляют только 40\% реальной стоимости вклада, а на условиях 35\% в долларах — 62,5\%, что значительно хуже.

Почему банку выгодно работать даже в условиях отрицательной ставки процента и по кредитам, и по депозитам? Допустим, процент по депозитам id, а по кредитам ik при инфляции в 1\%. При каких соотношениях банку работать выгодно?

Что выгоднее банкиру: обычный (банковский) учет векселей: Р = S* | 1 -jjj^ j или оплата векселей по формуле математического дисконтирования:

где Р — цена векселя;

S — номинальная сумма долга;

d — ставка дисконтирования (дисконт) в долях;

п — число дней, оставшихся до выплаты суммы S по векселю.

Задачи для самостоятельного решения

Определите эффективную ставку процента за потребительский кредит, который предоставляется на следующих условиях:

40\% стоимости плюс 5\% в качестве платы за кредит вносится сразу;

оставшиеся 60\% стоимости покупки оплачиваются через год.

Банкир берет 8\% с уплатой вперед за годовой кредит. Определите эффективную процентную ставку при возврате всех 100\% от суммы кредита в конце года.

Найдите APR (эффективную ставку процента) при ставке 6\% за трехмесячный кредит при погашении и суммы, и процента в конце периода.

Начислите проценты по кредиту, выданному на 2 года и 7 месяцев под 12\% годовых. Используйте правила обычной практики банков.

В состав услуг банка входит учет векселей под 360\% годовых. Сколько вы можете выручить за вексель на 2 млн. руб. со сроком погашения через 45 дней?

Должник фирмы выписал вексель на сумму 90 млн. руб. со сроком погашения через 30 дней — 8 марта 1994 года. Но деньги фирме нужны сейчас. Один коммерческий банк предлагает дисконтировать (математически) сумму векселя по ставке ЦБР плюс 30 пунктов, то есть под 210 + 30 = 240\%. Другой банк согласен учесть вексель на обычных условиях по ставке ЦБР. Чьи условия выгоднее? Определите дисконты в обоих случаях.

Банкир берет 50\% годовых с годового кредита по стандартной схеме: проценты вместе с суммой кредита возвращаются через год. Каков реальный процент годовых с поправкой на инфляцию, составляющую 30\%?

Кредитный договор предусматривает выплату процентов и возврат суммы в конце периода и следующий порядок начисления процентов: 6\% за первый год, а за каждые последующие полгода начисляются дополнительно еще 0,5\%, но при этом действует правило простых процентов. Определите сумму выплат процентов по кредиту на 2,5 года в сумме 10 млн. руб. Будет ли для заемщика выгоден обычный договор на условиях 5\% годовых с выплатой в конце срока кредита суммы кредита с процентами?

Банкир просит уплатить в качестве процента за кредит 250 тыс. руб. в момент выдачи номинальной суммы кредита, равной 1,5 млн. руб., сроком на полгода. Найдите реальную эффективную ставку процента при инфляции, составляющей 1\% в месяц.

Определите, что выгоднее и насколько: взять в кредит в банке под сложный процент из расчета 20\% годовых на 2 года или под 22\%, выплачиваемые ежегодно.

В течение одного года можно вычислять процент двумя способами: «коммерчески», беря за базу 360 дней, и «точно» с базой 365 дней. Определите разницу между процентами, вычисленными этими двумя способами, по 3-месячному кредиту с 1 марта по 31 мая включительно, данному под 300\% годовых.

Вам предлагают за 200 тыс. руб. купить 22 ноября вексель, выписанный на 220 тыс. руб. с датой погашения 12 декабря того же года. Определите учетную ставку.

В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в год. Найдите APR (годовую стандартную ставку процента), если проценты начисляются ежеквартально в размере 20\%, то есть сумма вклада или долга автоматически увеличивается на 20\% в квартал.

Что выгоднее банкиру и насколько в переводе на APR: начислять по вкладам (депозитам) 40\% ежеквартально или 10\% ежемесячно?

Найдите среднюю процентную ставку, то есть процент, дающий тот же результат, что и следующая переменная ставка, составляющая 8\% в первый год, 10\% — во второй и 12\% — два последующих года.

Имеются два обязательства:

91 млн. руб. с оплатой через 4 месяца и

96 млн. руб. с оплатой через 9 месяцев.

При какой ставке простого дисконтирования (учетной ставке банка) они эквивалентны?

Банк обещает по депозитам 900\% годовых, но экономисты оценивают инфляцию на уровне 1100\%. Какова реальная ставка банковского процента?

На сколько процентов удалось уменьшить «инфляционный налог», вложив средства на год в бессрочные депозитные сертификаты под 350\% годовых при инфляции 800\%?

Страховой фонд создается годовыми рентными платежами по 100 тыс. руб. в год, которые вносятся в конце года, начиная с 1994 года. Страховая компания гарантирует 200\% роста в год. Какая сумма накоплена к 01.01.99?

Найдите приведенную к настоящему моменту сумму рентных платежей при фиксированной величине ренты в 1000 долл. под 9\% годовых, если еще только предстоит платить ренту в течение 5 лет.

Какую сумму надо ежегодно вносить в банк начиная с сегодняшнего дня под 25\% годовых, чтобы через 5 лет накопить 1 млн. долл.?

Какой из двух вариантов годового кредита выгоднее для заемщика:

а) 20\% вперед;

б) 10\% вперед плюс 13\% после окончания года вместе с возвратом всей суммы кредита?

Договаривающиеся стороны считают эквивалентными 100 000 долл. сейчас и 207 360 долл. через 4 года. Найдите принятую сторонами ставку дисконтирования.

Пусть восьмилетняя рента под 10\% с платежом 5000 долл. откладывается на 3 года. Найдите новый размер годового платежа.

Сколько нужно положить в банк под 5\% годовых, чтобы выплачивать владельцу ренту в 100 тыс. руб. в год, а сумма на счете в банке была бы неизменна?

Соседний банк дает 200\% годовых по стандартной схеме. Ваш банк начисляет проценты ежеквартально. Какую ставку годовых нужно объявить, чтобы «выйти» на те же 200\% APR?

Государство заняло сумму у банка на условиях «вечной ренты», то есть согласилось выплачивать ежегодно по 1 млн. руб., не возвращая долга. Какова минимальная сумма кредита, если, заключая договор, стороны исходили из 10\% годовых за такой кредит?

Заемщику предоставлен льготный период, в течение которого он выплачивает 15\% ежегодно с суммы кредита и в конце срока возвращает всю сумму целиком. Найдите APR, если кредит дан на 5 лет.

Стороны договорились ежемесячно индексировать сумму долга в 30 млн. руб. на величину инфляции, а также погасить весь долг за три месяца, выплачивая ежемесячно по 1/3 долга плюс набежавшие проценты. Определите все три суммы выплат при начислении 1\% за месячный кредит, если в первый месяц инфляция составляет 20\%, во второй — 25\%, а в третий — 15\%.

Определите сумму на сберегательном счете на 1 апреля, если:

а) вклад на 1 января составлял 400 000 рублей;

б) процентная ставка равнялась 24\% годовых, но с 1 февраля

введена новая ставка — 36\%.

Вексель с уплатой через 90 дней 1 млн. руб. куплен за 750 тыс. руб. и через 30 дней продан за 850 тыс. руб. Определите доходность этой операции в рублях и в APR.

Некая фирма «встала на ноги», получив деньги в размере 150 млн. рублей 1 июля 1991 года. На какую сумму могут рассчитывать лица, ссудившие фирму деньгами, по состоянию на 01.01.94? Ставка Центрального банка росла за этот период следующим образом:

6.35. При какой ставке дисконтирования стоимость двух проектов одинакова?

Капиталовложения по годам:

Определите доходность ссудной операции на основе расчета APR, если при выдаче ссуды удерживаются комиссионные в размере 1,5\%, а погашение ссуды в 3000 долл. осуществляется ежегодными платежами в 1050 долл. в течение 3 лет.

Какой процент годовых при оценке векселя со сроком погашения через 45 дней по формуле математического дисконтирования эквивалентен учетной ставке коммерческого учета векселей под 360\%?

*6.38. Объявлена следующая схема (стратегия) погашения годового кредита: в конце каждого квартала погашается сумма, равная 5\% суммы кредита, а в последнем квартале плюс к погашению 5\% возвращается и вся сумма кредита. В течение этого года коммерческие банки принимают срочные вклады на 3-9 месяцев под 30\% годовых с начислением простых процентов. Какова действительная цена кредита (эффективная ставка)?

*6.39. Вычислите APR для кредитного договора, согласно которому за первые полгода надо вернуть не только 5\%, но и половину суммы кредита, а по истечении второй половины года следует вернуть не только оставшуюся часть кредита, но и 7\% от суммы кредита.

*6.40. Потребительский кредит дается на следующих условиях:

40\% покупки оплачивается сразу плюс 5\% от стоимости покупки в качестве платы за кредит;

оставшаяся сумма вносится так:

30\% через 3 месяца;

еще 30\% через 6 месяцев. Найдите эффективную ставку процента.

*б.41. Заемщик должен вернуть 102 тыс. долл. через 72 дня и 206 тыс. долл. через 108 дней. Он просит консолидировать платежи и согласен вернуть 308 тыс. долл. На какую отсрочку может рассчитывать заемщик при одной и той же 10\%-ной годовой ставке?

*6.42. Определите срок ежегодной ренты в 700 долл., для того чтобы накопить 10000 долл., если рента копится под 15\% годовых.

*6.43. Заемщик должен 5 лет выплачивать по 1 млн. руб. в счет погашения займа. Но когда нужно было делать первый взнос, денег не оказалось и заемщик попросил банк об отсрочке и был согласен в течение последующих 4 лет погасить долг равными взносами под 13\% годовых. Определите сумму этого взноса.

*6.44. Как удержание комиссионных из расчета 1\% от суммы кредита увеличивает эффективность ссуды с позиций кредитора при 4-летнем сроке кредита?

Определите доходность ссудной операции, если ссуда предоставляется на 2 года на условиях ежегодной выплаты процента из расчета 6\% за первый год и 6,5\% за второй год. Изменится ли как-нибудь доходность, если процент, наоборот, равен 6,5\% за первый год и 6\% за второй год?

Выведите формулу зависимости депозитного мультипликатора от нормы банковского резерва.

Доля банковских счетов в денежной массе, находящейся в обращении, составляет 70\%. На сколько процентов изменится вся денежная масса, если норма банковского резерва снизится с 20\% до 10\%?

За какой срок окупятся инвестиции в сумме 85 тыс. долл., взятых в кредит, если процент, который надо выплачивать за кредит ежегодно, составляет 7\%, а ожидаемая отдача равна всего 5 тыс. долл. в год?

Сумма инвестиций равна 100 тыс. долл., предполагаемая отдача составляет 20 тыс. долл. в год. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются 8\% годовых?

Предполагается, что вся прибыль образуется в конце каждого года и тогда же надо платить проценты за кредит.

По условиям кредита его можно вернуть в любой удобный для заемщика момент в течение года. Кредит дан под 240\% годовых с помесячной уплатой процентов. Взяв кредит в сумме 1 млн. руб. в начале года, предприниматель вкладывает средства в торговые операции, каждый раз сроком на один месяц, получая 40\% прибыли на вложенный капитал. Как наилучшим образом предприниматель может спланировать свои взаимоотношения с банком, если на иные кредиты ему рассчитывать не приходится и через год он сворачивает дело?

Предыдущую задачу можно усложнить: каким должно быть соотношение в будущем году инфляции, роста курса доллара и платы за конвертацию, чтобы процент в рублях был выгоднее процента в долларах?

При покупке до 01.01.96 г. 500 акций концерна «Гермес» вы становитесь владельцем однокомнатной квартиры.

Умные люди подсчитали, что для этого надо было вложить в акции 2 тыс. долл. в начале 1994 г.

Определите эффективность вложений через эффективную ставку процента.

Ставка банковского процента равна 90\%, а инфляция составляет 160\%. Эффективен ли проект с ожидаемой прибылью от инвестиций в 70\%?

Под какой процент нужно давать взаймы на неделю при условии непрерывности таких операций, чтобы выйти на ту же месячную доходность, что и при кредите на 1 месяц под 210\% годовых? Ответ дайте в процентах годовых.