Глава 8 инструментальные переменные

Глава 8 инструментальные переменные

Задача 8.1

Проверьте формулу (8.5)

3,v = (X,X)-lx'y= (X,Z{Z'Z)'lZ,X)'lX,Z(Z,Z)-lZ'y для оценки, полученной двухшаговым методом наименьших квадратов.

Решение

Имеем X = Z(Z'Z)'1ZX. Тогда

3iv = (x'xy^x'y т (X'ZiZ'Z^Z'ZiZ'ZY^Z'Xy^X'ZiZ'Zy^'y = {X'Z{Z'Z)"xZ'X)~XX'Z{Z'Z)-lZ'y.

Задача 8.2

Докажите, что при т = к оценка (8.5)

\% = {X''Z(Z'zyxz'х)']X'Z(Z'Z)~xZ 'у совпадает с оценкой (8.2)

3IV = (Z'X^Z'y. 230

Решение

При т = к матрица Z'X является квадратной невырожденной матрицей.

Поэтому согласно (8.5) имеем ^ Щ ^^^^г і

3iv = {Z'X)-l{Z'Z){X'Z)'iX,Z{Z'Z)-xZ,y = {Z'X)-lZ'y.

Задача 8.3

Найдите V(/3|V) для оценок (8.2):

J3iy = {ZlX)-lZ'y

и (8.5):

3iv = (X'Z(Z'Z)-xZ'XyXX'Z(Z'Z)-xZ,y.

решение

Рассмотрим сначала случай, когда Z и X — неслучайные матрицы. Тогда

v(3iv) = v{{x'z{z'z)-lz'xyxx'z{z'zylz'y}

= (X'Z(Z'Z)~}Z,X)~{X,Z{Z,ZyxZ,V(y)

х Z{Z'Z)~1Z'X(XfZ{Z,Z)'lZ,Xyl = a2(X'Z{Z'Z)-iZ,Xyi

x X'Z{Z'Z)'xZ'Z{Z'Z)~xZ'X(X'Z(Z'zyxz'x)~l

= g2(x'z{z'z)-xz'xy

Этот случай, однако, не имеет содержательного смысла, так как если рсгрес-соры X не случайные, то сама проблема коррелированное™ регрессоров и ошибок, для решения которой используется метод инструментальных переменных, отсутствует.

Рассмотрим действительно важный случай, когда X и Z случайные. Однако в этом случае мы можем вычислить только асимптотическую матрицу ковариаций оценок.

Сделаем следующие стандартные для метода IV предположения:

Существует plim(l/n)Z'e = О.

Существует plim(l/n)ZfX — конечная матрица максимального ран-Щк га к.

Существует plim(l/?j)Z/Z — конечная положительно определенная I матрица.

Рассмотрим общий случай. Обозначим Р = Z(Z'Z)~lZ тогда

3iv = {Х'РХу'Х'Ру = (3 + {Х'РХУ'Х'Ре.

Заметим сначала, что из 1)-3) вытекает, что следующий предел существует

П равен ПОЛОЖИТеЛЬНО Определенной матрице: щ д ^^Ff

-1

р1їт( ~Z'X ) .

plim (-Х'РХ) = рЦш J /Літ f-Z'Z

Также имеем

plim (^Х'Ре^ = plim i}iZ'Z

-i

plim ( ^Z'er ) = 0.

Отсюда получаем:

plim (/З

IV

= /3 + plim {(X'PX)~l Xі Ре) = /3 + (^)Пт^Х'РХ^ рІІт^Х'Рє

= 0-

Таким образом, мы доказали, что оценка f3lv является состоятельной.

Предположим дополнительно, что n~*f2Z'e — последовательность, удовлетворяющая условиям центральной предельной теоремы. (Это верно, например, в том случае, если инструменты Z не случайные.) Тогда оценка

1

метода инструментальных переменных /3IV имеет асимптотически нормальное распределение, и мы получаем, что вектор

1

^i(0w-P)= -Х'РХ

-1

п

Х'Рє

п

= ( —Х'РХ

1 '^x'z) (z'z

1

п

Z'e

имеет асимптотическое нормальное распределение с асимптотической матрицей ковариаций

a2plim(^~XfPX

Таким образом, мы показали, что

v^(3rv-£)

имеет асимптотическое нормальное распределение с асимптотической матрицей ковариаций

a2plim (^X'Z{Z'Z)-XZ'X

-і

В частном случае (8.2), когда матрица Z имеет ту же размерность, ч* и матрица X, имеет место равенство

(Х'РХ)'1 = (Z'X)-lZ'Z(X'Z)-

так как в этом случае матрица Z'X квадратная, невырожденная. Тогда

асимптотическая матрица ковариациМ имеет вид ■ ^^щЖ

а2/Лип Pl[m (^Z'Z) (X'Z

Задача 8.4

Пусть мы оцениваем регрессионное уравнение

і Уі = 01 + 02Xt +£t, t = 1,...,П

с помощью метода инструментальных переменных, используя переменную Zt как инструмент для х*.

Покажите, что оценки коэффициентов имеют вид

PlIV = У — P2IVX, 02W = ==Г, =77 =7

и являются решениями системы уравнений

Решение

Будем использовать обозначения X = [г &•] для матрицы регрессоров и

(Мы использовали тождество (zt г)'г = 0.) Теперь вычислим 0UV: 2 z'xi'y \%'xz'y nz'xy nz'yx (z'xy пЩ7) -(z'yx пгху)

hz'x — i'xi'z

nz'x n2zx

z'x — nzx

nzx

z'x

{z'x nzx)y [z'y nzy)x _ _

= У P2XVX.

Рассмотрим вторую часть задачи. Оценка f3iv удовлетворяет уравнению

Зїу = (Z'X)~lZ'y, а следовательно, и уравнению ■ ^^^^^^ж

(z'x)3iv = V^^^vj

Запишем последнее уравнение в координатах:

или

что совпадает с системойуказанной в условии задачи.

Задача 8.5

Рассмотрим модель (8.3

у = Х/3 + є, V(e) = <r2/,

в которой ре [рессоры Xtp коррелнрованы с ошибками е*. Пусть Z — некоторая матрица. Преобразуем исходное уравнение, умножив его слева на Z':

Z'y = Z'X(5 + Z\% (*)'

Покажите, что оценка обобщенного метода наименьших квадратов (5.4) для вектора коэффициентов уравнения (*) равна

0GLS = (X'Z(Z'Z)-lZ'X) ~ХX'Z(Z'Z)-xZ'y. I

Сравните результат с формулой (8.5) ДЛЯ оценки метода инструментальных переменных. Ї

Решение I

Введем обозначения: X = Z'X, у = Z'y и є = Z'e. Уравнение (*) в этих обозначениях имеет вид: |

у = Х(3 + є, УЩ = V(Z'e) = Z'V(e)Z = o2Z'Z = П.

Применяя формулу (5.4) для оценок вектора коэффициентов уравнения (*) обобщенным методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение:

3gls = (х'п-1Х)-1\%П-1у І = {{Z'X),(Z'Z)-l{Z'X)yz'X){Z,Z)-lZ'y

щ {x'z{z'z)-xz'x)'xx'z{z'z)-'z'y,

которое совпадает с формулой (8.5) для оценки метода инструментальных переменных.

Вадима 8.6 > ^т.

I Пусть переменные у*, связаны (точным) уравнением ^^^^^^^^

Однако вместо точных значений мы наблюдаем измеренные (с ошибками измерений) значения у, — у} 4Щ и zt = z* + vt, где щ ~ iid(0,<т~), Vt ~ iu/(0, ctJJ), ошибки щ и уа независимы при всех t и s. Мы оцениваем методом наименьших квадратов уравнение

, Vt = 01 + 02*1

а) Удовлетворяют ли ошибки в данном уравнении условиям стандартной

і линейной модели?

б) Найти Cov(ztt єt).

в) Найти р im02 

Решение

а, б) Подставив выражения для у^, z в исходное уравнение, получаем:

yt ut = 0 402(zt vt)4 или

I Vt = /Зі 4ftZ! + (tit 02Vt).

Таким образом, £t = Щ — 02Vf. В силу условия задачи получаем, что ошибки независимы при всех ( и дисперсия ошибок постоянна

V(e,) = V(t«, fovi) »£ + ДО.

Поскольку рассматривается модель со стохастическими регрессорами, то в понятие «стандартная модель» входит также некоррелированность ошибок с регрессорами. Вычислим коварпацию zt и ef>

Cov{zuet) = Cov(zt* +vt,ut-02vt) = -02ОІ Ф 0.

Сборник задач к начальному курсу эконометрики

Предмет: Экономика Автор: Катышев П.К. Год издания: 2007 Язык учебника: русский Рейтинг: Просмотров: 348