Системы взаимозависимых эконометрических моделей
Системы взаимозависимых эконометрических моделей
Задание 8.1
Имеется следующая модель:
р, = р1, + єи; (8.1)
Щ = Pi-Pt + fc-qt+Єги (8.2)
h = wl + bl-q1, (8.3)
где pt — логарифм цены;
w, — логарифм почасовой оплаты;
/, — логарифм себестоимости;
q, — логарифм объема производства;
Ь,—логарифм количества рабочих часов в неделю в период t.
Требуется.
Представить модель в матричной форме записи.
Определить ранговые условия идентифицируемости уравнений для р, И W,.
Уг
; xt —
(с
G, — государственные расходы;
Y, — валовой национальный продукт в период t.
Матричная форма записи модели
А ■ у, + В • xt = Et.
2. Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для р„ необходимо и достаточно, чтобы следующая матрица имела полный ранг:
1 О -Р3^
-і -і і у
Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для р, идентифицируемо.
Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для w,, необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица
Ранг этой матрицы также равен 2, также совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для wt идентифицируемо.
Требуется.
Определить типы уравнений и типы переменных, входящих в модель (8.4) (8.6).
Представить структурные уравнения в матричной форме.
Построить соответствующую прогнозную форму.
Определить метод оценки параметров прогнозной формы.
5. Проверить идентифицируемость уравнений структурной
формы модели.
Решение.
1. Первые два уравнения уравнения поведения (реакции), их коэффициенты неизвестны и должны быть оценены, кроме того, каждое из уравнений содержит стохастическую ошибку sjt.
Третье уравнение детерминированное (предопределенное). Его коэффициенты известны, и оно не содержит стохастической ошибки.
С,; I, и Y, эндогенные нелаговые (взаимозависимые) переменные.
У,л эндогенная лаговая; G, экзогенная нелаговая переменная. Обе эти переменные являются предопределенными.
Задание 8.2
Имеется следующая макроэкономическая модель:
Ct = yxYt + p + sxt; (8.4)
Л = ^, + Дг7,_,+А + £2,; _ (8.5)
Yt=Ct + It+G„ (8.6)
где С, — потребление; /, — инвестиции;
1 О -1
2. Введем следующие обозначения:
о -V
А= 0 1 -Y2
-1 1
о
-А
в =
-Рг -Pi О О
Определим матрицу 17:
Л-1
1 0 -п
77 =
О 1 -Y2 -1 -1 1
1
о
-Y~Y2 1
1-Г2 п -г
72 1-П -72
1 1 -1
1-п -Г2
j
-А о -А -А о о і -1,
В первом уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение сверхидентифици-руемо.
Во втором уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 1, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 также равно 1, т.е. уравнение идентифицируемо.
Для проверки рангового условия для первого уравнения составим следующую матрицу:
fl Y2 «І И о 0'
Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для С, идентифицируемо.
Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица
Проверим сначала порядковые условия идентифицируемости уравнений структурной формы. Для этого составим следующую таблицу.
Ранг этой матрицы также равен 2, также совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для I, идентифицируемо.
Задание 8.3.
Имеется следующая система взаимозависимых уравнений:
7\Уі + ШУъ + РиХи + Ръ*ъ1 = £ь тУ и +Уъ + ПъУм + Рихц + РіаХаі = Віі; ПіУи + УътУъ +Уи + Рыхъ + РззХз, + Д^г = єц.
Требуется.
Проверить идентифицируемость уравнений системы.
Выяснить идентифицируемость, если на параметры наложены следующие ограничения:
а) Л, = 0;
б) и, = 0.
Решение.
1. Для проверки идентифицируемости составим следующую таблицу.
Таблица 8.2
Уі | Уг | Уі | *і | хг | ||
Уи | У2 | 0 | #1 | 0 | А? | 0 |
Уг | 1 | У23 | 0 | Ра | 0 | |
0 | Уъг | 1 | 0 | Рп | &4 |
Проверим сначала порядковые условия.
В первом уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.
Во втором уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 2, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 также равно 1, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.
В третьем уравнении число выводимых экзогенных переменных равно 1, а число вводимых эндогенных переменных за вычетом 1 равно 1, следовательно, уравнение идентифицируемо.
Для проверки рангового условия для первого уравнения составим следующую матрицу:
V23 ^22 ^24 ^ I 1 fi32 Ръа/
Ранг этой матрицы равен 2, т.е. совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Таким образом, уравнение для уи идентифицируемо.
Для того чтобы можно было идентифицировать уравнение для у2„ необходимо и достаточно, чтобы имела полный ранг матрица
7?п fin { 0 fi33j'
Ранг этой матрицы также равен 2, совпадает с числом уравнений в системе за вычетом единицы. Следовательно, и уравнение для у2, идентифицируемо.
Для проверки рангового условия для третьего уравнения составим следующую матрицу:
Vll fin
Ранг этой матрицы равен 2, т.е. уравнение для уг, идентифицируемо.
2.
а) Если fin = 0, то первое уравнение будет индентифицируемым, второе и третье — нет.
б) Если уи = 0, то первое и второе уравнения будут идентифицируемы, третье — нет.
Задание 8.4
Имеется следующая макроэкономическая модель: С,= а, + a2-Yt + а3 • г, + еи; Л = Д + fii-Y, + А ■£/_! +«И rt = Ті + її ■ Л + YMt + £2t Yt = Ct + It + Gt.
Требуется.
Описать процедуру оценивания уравнений по двухшаговому МНК.
По аналогии с заданием 8.3, п.1 выясняем идентифицируемость уравнений. Поскольку для трех уравнений выполняются как порядковые, так и ранговые условия, то они идентифицируемы.
Согласно двухшаговому МНК для оценивания первого уравнения сначала нужно осуществить регрессии Y, и г, на М,, £/(_ь Gt
Л Л
и const. По построенным уравнениям определяются Yt и rt. На
Л Л
втором шаге оценивается регрессия С(от Y t, rt и const.
Для оценки второго уравнения на первом шаге достаточно
л
осуществить регрессию Y, на М,, £/м, G, и const, рассчитать Y t, а
л
на втором шаге оценить регрессию /(от Y t, и const.
Для оценки третьего уравнения на первом шаге оценивается
л
регрессия /(от Mh Ut-i, G,. Рассчитываются значения It. На втол
ром шаге оценивается регрессия г, от It,Mtvi const.
Задание 8.5
Имеется следующая макроэкономическая модель: Ct = ai + a2Y, + єи;
Yt = C, + It + G,
Требуется.
Написать модель в матричном виде и найти соответствующую прогнозную форму.
Определить число ограничений, наложенных на коэффициенты прогнозной формы.
Показать, что при заданных значениях коэффициентов прогнозной формы можно однозначно определить коэффициенты структурной формы.
Решение.
-«2
-Рг 1
0^
о
-1
1. Введем следующие обозначения:
1 0 0 1 -1 -1
в =
-«1 -А о
(с Л | ||
Уі | = | |
UJ | ||
(і ^ | ||
xt | — | |
fit) | ||
чї | ||
= | tit | |
Матричная форма записи модели
4-і
Уг
А •у, + В-х, = ъ. Прогнозная форма запишется следующим образом:
■ Вxt +А '•£< = Пх, + ц.
а1КУ2 КЪ2
Проведя замену Pi = ах, получим
Яу2
0 0
-1
к22 КЪ2
КУ2
-«1
Я32 ЛЪ2
n2 ж22
1
1
V
l-«2-^2
На шесть коэффициентов приведенной формы накладываются два ограничения:
Щі + Я21 = ЯЗЬ Я21 + Я22 + 1 = Я}2Покажем теперь, что по заданным коэффициентам прогнозной формы можно единственным образом восстановить структурные коэффициенты.
При Яз2?0 получим
отсюда
кп -я-32 -я-31 -лп я31 -яг12
а{ = - = я\ 1
№2 -Я2 *22 ) ■ ^32 7132
а *31 „ _*31 _ . *31'*12
А = а =-—лп+—
Л-32 ^32 ^32
"2
*Ъ2
ЯЇ2 . д ^22
. Р2 = ■
пЪ1
«1 +01 =
КЪ2
ч-(1-А)+А-«г =
"32
Подставим значения а2 н р в последнее уравнение. Имеем следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
л31 .
л32 '
Обсуждение Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»
Комментарии, рецензии и отзывы