Методы оценки параметров нелинейных эконометрических моделей
Методы оценки параметров нелинейных эконометрических моделей
Задание 11.1
Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии У=Л.х) + є= а-е*3* + є.
Требуется.
Разложить функцию Дх) в ряд Тейлора второго порядка в точке хо = 0 и определить, чему равен предел разложения в ряд и-го порядка при п—ух>1
Решение.
Рассчитаем первые и вторые производные функции fix), dx
dx2
Разложение функции fix) в ряд Тейлора второго порядка будет выглядеть следующим образом:
f(xQ) = a-e^+-i-a--e^(x-x0)+ja-f-e^>(x-xQ)2 +...; f(fi) = a+a-fi-x+^afi2-x2+...
Предел разложения в ряд n-го порядка при «-»<»
Пт/(х) = а-е^х° +^-ахр-еРх°(х-х0) +
+Laxf.e^(x-xQ)2+...= a.fl±-(Px)n.
2 0 и!
Задание 11.2
Итак, система нормальных уравнений выглядит следующим образом:
т т T-aQ-arZx?2 =T,yt ї
т т 2а т а
°оЪх?2-axLxt"2 =Т.Уі 'Xt1
t= t= /=1
a0 • £ x?2 ■ Щх( ) a, • £ xf°2 ln(x, )=i.ytx?2 Hxt).
/=1 /=1 /=1
Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии
у, = CCq + СС • Xt"2.
Требуется.
Записать систему нормальных уравнений для определения оценок параметров ао, а и а2.
Решение.
Сначала определим сумму квадратов остатков
т
S(a0,aha2) = X (у, -а0 -ах ■ х?2).
t=l
Необходимым условием достижения минимума функцией S является равенство нулю ее частных производных по параметрам а0, а и а2.
яо Т
= -2-Il(yt-aQ-al-x^) = 0b;
да0 t=l
т
™-2lx?i-(yt-a0-avx?) = 0;
= -2 ■ I х°2 ■ Hxt ).{yt-aQ-ay Xа* ) = 0. даг /=і
Задание 11.3
Имеется нелинейное уравнение регрессии
у, = ао ■ (хи щ) ■ (хь а2) + є,.
Требуется
Записать «псевдолинейную» модель. Решение.
Представим функцию в следующем виде:
, 2 .
Рассчитаем производные функции по параметрам:
^ -(xi-ax)-(Xl-a2); =-а0 ■ (х2 а2);
da.Q dax
-4£= -а0-(х1-а1). da2
Запишем теперь «псевдолинейную» функцию
у=а0-(х1ах)-(х2 а2) + (хх -аДС^ а2)-(ао аь1) -ао1 • (*2 а2У(щ «і1) ао1 • (*і а/Н^і а2) = = (л а)-(х2 а2) ■ аоао ■ (х2а2) ■ ах ао1 ■ (х} сс) ■ а2 + + ао-(х2а2) ■ а + аьі(хг ах) • а2.
В заключение перенесем последние два слагаемых в левую часть и получим
уао-[ах ■ {х2а2) + а2 ■ (хх ахху = = (хх ахху(х2 аг1) ■ oq oqX • (x2 a2) ■ ax oq • (xx ax) • a2.
Задание 11.4
Имеется нелинейная однофакторная регрессионная модель
yt =axt +et,
где єг{0, о2). Требуется.
Вывести рекурсивные формулы для алгоритма Ньютона-Рафсона.
Показать, что выполняется следующее равенство:
т
M[dzS/da2] = 2<х)/da]2 = 2z(a)'z(a),
t=l
где S — сумма квадратов остатков. Решение.
1. Сумма квадратов остатков будет выглядеть следующим образом:
S = I(y,-a*')2Функцию S нужно минимизировать по параметру а. Рассчитаем производную по этому параметру:
da
Необходимым условием экстремума функции является равенство производной нулю. Таким образом, требуется решить нелинейное уравнения. Метод Ньютона-Рафсона предлагает следующую итеративную процедуру поиска решения:
ап+1 ~ап~ ~ ~ a
dS/daa„
/'(«„) " d2S/da2an'
d2S da2
где а„ и ап + х — значения параметра а соответственно на и-и и п + 1-й итерации. Определим
= "2• ILV, • х, ■ (xt -1)• ax<~2 -(2x, -1) • x, • a2x'~2].
Соответственно получим
ln+l "я ,i„, , і.
dS/daa„
a.„4.1 -a.
Ш ■ xt ■ (xt -1) • a J'2 (2xt -l)-xr a2*'"2]
M[d2S/da2]-M 2• 2Г(2х, -1)• xr a2xr2yt ■ xt ■ (x, l)a*'~2
t-yt г
= 2 • £ (2x, -1) • x, • a2x'~2 M(yt)xt ■ {xt l)a*'-2
t-V~ t
= 2 • £ Г(2х, -1) • xta2x'~2 -ax> ■ x, ■ (x, l)ax>~21 = t-vJ
t
= 2■ £ {a2*'"2 ■ [{2xt !)• x, x, • (x, -1)]} =
= 2 • £a2x'~2 ■ [2x2 xt x2 xt]} = t t
= 2-1 a2*'-2 • x2 = 2Yl[df(xt,a)/da]2 = 2-z(a)'z(a).
t-l t=l
Задание 11.5
Имеется нелинейное однофакторное уравнение регрессии Уі =f(xt,a) + st,
где Є,~Щ,(?). Требуется.
Показать, что оценка а параметра а по методу максимума правдоподобия совпадает с оценкой а, определенной с использованием нелинейного МНК в модели
у, =j(x„ а) + е„
где £ГФ, о2). Решение.
Запишем функцию правдоподобия
/(а'ст lj'*)=^y^expl 2^ Г
1 [ S(a)
(2ка2)Г/2 Р1 2а2
Соответственно логарифм функции правдоподобия
Да, а2 | у,Х) = In/(а, а2 | у,Х) = -1п2ті--1па2 -^Щ.
2 2 2а
В общем случае невозможно найти аналитическое выражение для ММП-оценки а , т.е. значение а , при котором dL/dа = 0.
Однако можно выразить ММП-оценку а2 как функцию от а , приравнять dL/dc? нулю и определить оценку а1 S(a)/T.
Запишем L в терминах а , заменим о2 на а2, получим логарифмическую функцию правдоподобия L :
г*г , Тл „ Т, S(a) Т Т. .
I (a v,X) = —In 271 In—— = const lnS(a).
•^2 2 Г 2 2
Максимизация L (ayJC) означает минимизацию hS(a), а с учетом того, что логарифмирование является монотонным преобразованием, максимизация L (ayJC) одновременно означает и минимизацию S(a), которая требуется при оценке нелинейным МНК.
Следовательно, а = а, где а — это оценка параметра а, полученная с помощью нелинейного МНК, argmin S(a).
Задание 11.6
Имеется нелинейное уравнение регрессии
у, = а+ ^,
где £•, распределена по закону Коши с функцией плотности Дг)=1/я(1+г2).
Требуется.
Построить алгоритм метода максимального правдоподобия Ньютона-Рафсона.
Решение.
Функция плотности распределения ошибки для ґ-го периода запишется следующим образом:
/(Б,) = --(1 + Б,2) = --[і + (Л-а)2],
71 71
соответственно ее логарифм
ln/(ef) = lni+ln[l + (^-a)2I,
71
Логарифм функции правдоподобия
Да) = Ilni + 5>[1 + (yt а)2] = const + £1п[1 + (у, а)2].
7С
Необходимым условием экстремума функции правдоподобия является равенство нулю ее первой производной.
:0.
dL _ ^ -(yt а) da + (yt-a)2
Таким образом, требуется решить нелинейное уравнение. В соответствии с методом Ньютона-Рафсона получим
l-(yt-a„)2
dS/daa„ d2S/da2ar
1 +
Задание 11.7
В результате оценивания по методу наименьших квадратов получается следующая линейная регрессионная модель:
у, = 4хі, + 0,5x2, + е,
с ковариационной матрицей
п , ч (0,4 -0,fl C0V(a) 4-0,1 0,2 J"
Требуется.
Рассчитать значение статистики Вальда для следующих нулевых гипотез:
а) Я0: ava2 = 1;
б) Н0: п(а{) + 1п(«2) = 0.
Проанализировать взаимоотношения между двумя гипотезами и соответствующими тестами.
Написать псевдолинейную модель для оценки приведенной в условии модели в предположении, что верна гипотеза а) из п. 1. Описать, как можно вычислить значение критической статистики в тесте множителей Лагранжа применительно к полученному результату.
3. Вычислить значение статистики в тесте отношения правдоподобия для модели с ограничением, если сумма квадратов остатков в модели без ограничения равна 500, в модели с ограничением — 510, а величина выборки Т= 40.
Решение.
1. Статистика в критерии Вальда определяется следующим образом:
W= g(a)'-(G(a)-Cov(a)-G(a)')4-g(a),
где G(a) — матрица первых частных производных, g(o) — нелинейное ограничение на параметры.
g(o) = ai ■ а21;
G(a) = (а2 ах). Соответственно статистика критерия Вальда:
W = (ava2-)1
і 0,344828.
(0,5 4).
= (4-0,5-1Г
(а2 ax)-Cov(a)
0,4 0,5^1 f0,5 -0,1 0,2
Расчетное значение сравнивается с 0,025\%-м квантилем ^(0,025; 1) = 0,001 и 0,975\%-м квантилем ^(0,975; 1) = 5,024, поскольку / = 0,344828 лежит между двумя табличными значениями, то нельзя отклонить нулевую гипотезу Но-. ах-а2= 1.
б)
g(o) = ln(ai) + ln(a2); G(a) = (Ші l/a2).
Статистика критерия Вальда
_1_
«2
-1
(0,25 2) «0,662694.
а
= (1,3862940,69315Г
Расчетное значение сравнивается с 0,025\%-м квантилем ^(0,025; 1) = 0,001 и 0,975\%-м квантилем ^(0,975; 1) = 5,024, поскольку £ = 0,662694 лежит между двумя табличными значениями, то нельзя отклонить нулевую гипотезу Но
ln(«0 + ln(a2) = 0.
Нулевые гипотезы в п. а) и б) отличаются только формой представления. В целом, этот пример подтверждает известный факт, что тест Вальда неинвариантен относительно формы представления нулевой гипотезы.
2. Статистика в тесте множителей Лагранжа рассчитывается следующим образом:
ML = 1S,(o'>V5"15'(o'),
где S(a') = dL/ da|a' первые частные производные логарифма функции правдоподобия;
Vs = M[S(a ')• S(a ')'] = I(a '); a '— оценка параметра, на который наложено ограничение в соответствии с нулевой гипотезой.
Ограничение а.у<хг — 1 является нелинейным, следовательно, оценить параметры с использованием МНК невозможно. Представим нулевую гипотезу в следующем виде:
ayOi = 1=02= 1/^1 •
Вместо уравнения у = сс-х + а?хг + получим у = аух + + (1/а{)-Х2 + £"(, т.е. нелинейную модель. Эту модель необходимо оценивать с помощью нелинейного МНК.
Построим псевдолинейную модель.
п ч df(x,a). , і df{x,a). , У = У-fix,«і) + J Ia ■ a = J a ■ a + e,.
Здесь df(x'a) a=xx-x2(1/a})2. da.
Следовательно,
у = у xx ■ a} x2 ■ (l/a}) + x, • a + x2 ■ (1/a,1) = y2x2 ■ (1/a});
y-2x2 -(1/а})= fa-x2-(l/a{)2)ai + E,.
Из этой псевдолинейной модели можем получить по нелинейному МНК оценку сс, удовлетворяющую ограничению, специфицированному гипотезой Н0, т.е. «2 = Уос. Используя эту оценку «1°, можно вычислить требуемое значение критической статистики.
3. Статистика теста отношения правдоподобия LR=2(L(a)-L(ao)),
где а — оценка при отсутствии ограничения;
ао — оценка при наличии ограничения вида Я0; L — логарифм функции правдоподобия определяется следующим образом:
2 Т Т 9 1 ё'ё
Па,д ) = —1п27г—1п<т
2 2 2 о1
где ё = у-х-а , а2 =ё'-ё/Т .
Заменяя ё'ё на а2 -Т , получаем
Т . _ Т Т , Т *
l = 1п2я- ш сг = const <j .
2 2 2 2
lm = 2
— ІП 271 | + | z ) | |
U | 2J |
Следовательно, вычисляя l для а2 (оценка без ограничений) и 60 (оценка с ограничением вида щ), получаем следующее значение статистики:
( Тл „ Г Г, „2,
1п27с lno^ = 2'
,2 2 2
1па^--1пст2 = Г-(1па21-1пд2) = Г-1п
Т-In
J J
("510/40
= 0,792.
500/40
Глава 12
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В ПРОГНОЗИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Задание 12.1
На основании выборки из 20 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости затрат на рекламу у от годового оборота х в определенной отрасли (см. задание 2.4):
у = -1,6042 + 0,1621-х.
Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Требуется.
Определить 95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной у0 при хо = 30.
Определить 95\%-е прогнозные интервалы математического ожидания целевой переменной при значениях объясняющей переменной 10, 15, 20, 25. Отобразить все прогнозные интервалы и линию регрессии на графике. Прокомментировать результат. Проверить правильность утверждения: «С доверительной вероятностью 95\% все перечисленные прогнозные значения математического ожидания лежат в данном интервале».
Оценить 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при хо = 30 и сравнить его с прогнозным интервалом в п. 1.
Решение.
1. Точечный прогноз математического ожидания целевой переменной уо при хо = 30 строится следующим образом:
у0 = -1,6042 + 0,1621 • 30 = 3,2388.
j,0-T(l-a/2;r-2)-ae-J-+w.,2,
Интервальный прогноз математического ожидания определяется в соответствии с выражением
'1 , *0 .
1 v*2
1 *0
Т V *2
1 2>г
[0,0168-0,4534; 0,0168 + 0,4534] =[-0,4366; 0,4702]; т(1-а/2;Г-2)-ае
1
= 0,4
= 2,101-у^LIZ (15-17'3>2 20 9250-20-17,2
[0,8273 0,4; 0,8273 + 0,4] = [0,4273; 1,2273]; т(1-а/2;Г-2)-ае
і #
_|
1 (30-17.3Г
= 2,101-^0,7021 •
: 0,5551.
!20 9250-20-17,32
95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной составит
[3,2588-0,5551; 3,2588+0,5551] = [2,7037; 3,8129].
1 г*2
1 + хо
*2
2. По аналогии с п. 1 для значений объясняющей переменной 10, 15, 20, 25 получим соответственно следующее:
т(1-а/2;Г-2)-ае
= 0,4534;
-2,101.ДТШ.]Г7 (1°-17'3)2 20 9250-20-17,:
2
= 0,4023
= 2,101-У0Л02Т-^ <2°-17'3>2 20 9250-20-17,
1 , *о2
[1,6378-0,4023; 1,6378+0,4023] = [1,2355; 2,0401]; т(1-а/2;Г-2)-ае
1
= 0,4596;
:2,101-v№-,flZ(25-17'3)2
20 9250-20-17,:
[2,4483-0,4596; 2,4483 + 0,4596] = [1,9887; 2,9079].
Из рис. 12.1 видно, как меняется положение и ширина 95\%-го прогнозного интервала математического ожидания целевой переменной в зависимости от хо. Чем дальше удаляемся от среднего значения х = 17,3, тем шире становится соответствующий прогнозный интервал. Для хо = х прогнозный интервал является самым узким.
Нельзя с вероятностью 95\% утверждать, что все рассматриваемые прогнозные значения математического ожидания будут находиться внутри построенного нами интервала. Для такого высказывания необходимо было бы построить зависимость уо от
3. 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения у0 строится в соответствии со следующим выражением:
70-т(1-а/2;Г-2)-ае1 + 1 + -^-;
V Т Е*г
J
*2 1 + 7 + ^2 1 Е*/
ід + *
*2
Если точечный прогноз у0 = 3,2588, то 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения у0 равен
т(1-а/2;7/-2)-о-е
Е*г
= 1,8459.
= 2,іоі-УЬ7702Т-1і+і-+ (3°-17'3)2
V 20 9250-20-17,2 [3,2588-1,8459; 3,2588 + 1,8459]= [1,4129; 5,1047].
Задание 12.2
На основании выборки из 10 наблюдений оценено следующее уравнение зависимости спроса на некоторое благо у домохо-зяйств определенной структуры (у) от цены этого блага (х) и дохода домохозяйства (хг) (см. задание 2.15):
у = 13,271-1,4937-Х! +-0,023118 х2 Известно, что ошибка уравнения распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией.
Требуется.
Рассчитать 95\%-й прогнозный интервал математического ожидания целевой переменной уо для значений объясняющих переменных (5,5; 1100) и (6,0; 1150).
Определить 95\%-й прогнозный интервал для отдельного значения целевой переменной при таких же, как в п. 1, значениях объясняющих переменных.
Решение.
1. Точечные прогнозы математического ожидания у0 для данных значений экзогенных переменных будут соответственно
у01 = 13,271 -1,4937 • 5,5 + 0,023118 • 1100 * 30,485 ;
у02 = 13,271 -1,4937 • 6,0 + 0,023118 • 1150 « 30,895 .
Прогнозный интервал математического ожидания строится следующим образом:
у0-х(-а/2;Т-п-)-ае^х'0(Х'ХГ1 -х0; у0+т(-а/2;Т-п-1)-ае^х'0(Х'ХГ1-х0 .
( 1 1 | ||
5,5 | = 6,172 | |
поо/ |
Дляхої'= (1; 5,5; 1100) получим
= (1; 5,5; 1100)
184,08545 -2,21602 -0,1( -2,21602 0,81289 -0,00127 -0,16748 -0,00127 0,00017
Аналогично для х02' = (1; 6,0; 1150) Хо2'(ХХ)1 • Хад = = 8,8523.
*? = 0,0096587 и <0,975,7) = 2,365.
х(-а/2;Т-п-)-аеуІх,0(Х'ХГ1-хОЇ = = 2,365 • V0,0096587 ■ ^6,1762 = 0,578.
Таким образом,
[30,485-0,578; 30,485+ 0,578] = [29,907; 31,063];
Соответственно
т(1 а/2;Т п -1) • aeJx^(XXf^x^, = = 2,365 V0,0096587 Д8523 = 0,282;
[30,895-0,282; 30,895 + 0,282] = [30,203; 31,587].
Уо
2. Для прогнозирования отдельного значения целевой пере менной используется то же самое точечное значение, но интер вал определяется следующим образом:
Уо
-x(l-a/2;T-n-l)-ae^ + x'0(XXyl-x0;
+ т(1 а/2;Т п -1) • ае<\ + х'0(ХХ)~1 ■
Соответственно получим
т(1 а/2;Г п -1) • oeyjl + х'0(XX)'1 ■ х01 = = 2,365 ■ V0,0096587 • ^7,1762 = 0,623; [30,485-0,623; 30,485 + 0,623] = [29,862; 31,108];
т(1 а/ 2;Г п -1) • ае^1 + х'0(XX)"1 ■ х02 = = 2,365 -^/0,0096587-^/9,8523 =0,73; [30,895-0,73; 30,895 + 0,73] = [30,165; 31,625].
Задание 12.3
Имеется информация о средних транспортных индексах в летний период 1999 г. (см. табл. 6.3).
Требуется.
На основе модели ARIMA (0,1,1), оцененной в задании 6.5, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.
Решение.
Модель ARIMA (0,1,1) выглядит следующим образом:
В задании 6.5 определена оценка параметра /? (составляет -0,26876).
Прогнозные значения будут рассчитываться по формулам
л
У 56 = ^55 + е5б + 0.26876 ■ е55;
л л
у 51 = У56+ е51 + °>26876 • е56;
л л
^58 = у 51+ е58 + °> 26876 • е57,
ГДЄ Є55-Є5& СООТВеТСТВеННО ОЦеНКИ ОШИбОК £55~£58Предполагается, что условные математические ожидания
ОШИбоК М[Є55 + гІУі,..., у55] = 0 При Г>1.
Таким образом, все прогнозные значения будут равны между собой.
В целом получим
Л Л Л
^56 = У51 = ^58 = (l~b)-У55 + Ь'У54 = = 1,26876 • 261,49 0,26876 ■ 259,25 = 262,09.
Задание 12.4
Имеются данные процесса контроля качества (см. табл. 6.5). Требуется.
На основании модели ARIMA (1,1,1), оцененной в задании 6.6, п. 2, построить точечный прогноз исследуемого показателя на 3 периода вперед.
Решение.
В задании 6.6 п.2 была получена следующая модель ARIMA (1,1,1):
Ау, = -0,60142 • Дум +е,0,77214 ■ В общем случае
л
Ут+i = 0+ а)-ут-а-ут_1-$-ет.
Л Л Л
Ут+х = О + а) ■ Уг+т-1 «• Уг+т-2 •
В упрощенном варианте прогноза условное математическое ожидание ет предполагается равным нулю.
Таким образом, получим
у16 = (1 0,60142) • 72 + 0,60142 • 99 = 88 ;
yv = (1 0,60142) • 88 + 0,60142 • 72 = 78 ;
у7& = (1 0,60142) • 78 + 0,60142 • 88 = 86.
Задание 12.5 Имеется модель следующая модель GARCH(1,1):
v(2 = Д + А • s2,-! + П ■ v2m + $ = = 0,000193 + 0,49645 • e2t+ 0,547980 • v2M + Q.
Требуется.
Построить точечный прогноз условной дисперсии на 3 периода вперед, если последнее ее расчетное значение для базисного периода равно 0,7619, а остаток составляет 0,0707.
Решение.
Условная дисперсия прогнозируется следующим образом: v2r+1 = До + А • Вт + у ■ vr2; v2T+k = Д + (А + П) ■ v2r+t-b * = 2,3... Итак, получим
Л+1 = 0,000193 + 0,49650 • 0.07072 + 0,547980 • 0,7619 = 0,4202; v2r+2 = 0,000193 + (0,49650 + 0,547980) ■ 0,4202 = 0,4408; v2r+3 = 0,000193 + (0,49650 + 0,547980) ■ 0,4408 = 0,4623.
На основании информации, приведенной в табл. 12.1, оценены коэффициенты структурной формы системы взаимозависимых уравнений
С, = 41,4245 + 0,6216Y, + е, Г, = С, + 1,.
Требуется.
Оценить коэффициенты прогнозной формы.
Рассчитать точечный прогноз валового национального продукта и потребления, если объем инвестиций равен 164,50.
Построить 95\%-й совместный прогнозный интервал для эндогенных переменных.
4. Определить 95\%-е прогнозные интервалы для отдельно взятых эндогенных переменных.
Решение.
1. Структурная форма модели в общем виде выглядит следующим образом:
С, = аь + ах • Y, + £•,; Y, = C, + It.
Подставим второе уравнение в первое. Получим С, = ao + ai(С, + !,) + £,;
Е<=_^Р_+_а_./(+є;.
— , +_ ь = - -і--
1-cq 1-ctj І-оц 1-а! 1-а,
Подставим теперь значение С, во второе уравнение структурной формы. Имеем
-а ~а
1-а! 1 aj Поставив оценки параметров аь и а, получим С, = 109,4585 + 1,6424 • I, + є,*; Y, = 109,4585 + 2,6424 • /, + є'.
При /, = 164,5-равновесное потребление составит 379,63, а равновесный валовый национальный продукт — 544,13.
Совместный прогнозный интервал эндогенных переменных определяется следующим образом:
л I л л л I л
Ст+1-са -sn <Ст+т <Ст+х~^са -sn ;
л / л л Л / л
Yt+x Ya ■ S22 £ Ут+х < Yt+x V Са ■ S22 , где са =[l + *f+T-(ХХУ ■ Хт+,](Т~^2 2 -F(0,975;2;7/-2),
л
а матрица S рассчитывается согласно формуле
S = ^-(Y-X-nMHK)'-(Y-X-n'MHK),
в которой
П мнк = YX(XXy •
Матрицы y и x — соответственно матрицы исходных значений эндогенных и экзогенных переменных. Таким образом, получим )/св -*п = Vl2,21618-932,53 = Vll392 = 106,73;
<[са-S22 = д/12,21618-1892,478 = ^/23118,85 =152,04 .
Соответственно 95\%-й совместный прогнозный интервал для потребления составит [272,9; 486,36], а для валового национального продукта — [392,09; 696,17].
4. Для построения прогнозных интервалов для отдельно взятых эндогенных переменных определим сначала
^F(0,975;2;16)-5n = ^/4,69-932,53 = 66,13 ;
J F(0,975; 2; 16) • = V4,69 ■ 1892,478 = 94,21.
Прогнозный интервал для потребления будет
[379,63 66,13; 379,63 + 66,13] = [313,50; 445,76], а для валового национального продукта —
[544,13 94,21; 544,13 + 94,21] = [449,92; 638,34].
Y' X
[6105,13 805572,7V 1 8622,77 1142627 J'
(У XVі J 2Д349 -°'01626У vA л> 1-0,01626 0,00013 У
л
п =
( -62,1918 3,1380V 166,706 5,0486J'
л
S =
( 932,53 1308,302 1308,302 1892,478
Табличное значение критерия Фишера ^(0,975; 2; 16) = 4,69; са= 12,21618.
Учебное пособие
Обсуждение Сборник задач подготовлен по учебной дисциплине «Эконометрика»
Комментарии, рецензии и отзывы