Глава 4. доверительные интервалы прогноза. оценка адекватности и точности моделей 4.1. доверительные интервалы прогноза

Глава 4. доверительные интервалы прогноза. оценка адекватности и точности моделей 4.1. доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

погрешностью оценивания параметров кривых;

погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

Я+ь ± taSp, (4.1)

где

n — длина временного ряда;

L — период упреждения;

€n+L — точечный прогноз на момент n + L;

ta — значение t-статистики Стьюдента;

Sp — средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд может быть описан линейной моделью:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра aU приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1 — к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S p2 можно представить в виде:

S] = + Si (t1 -1)2 + Si, (4.2)

П I (t -1)2

t=1

где

S y2 — дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t1 — время упреждения, для которого делается экстраполяция; t1 = n + L ;

t

t

порядковый номер уровней ряда, t = 1, 2, n;

порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда; t = (n + 1) : 2

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

n +1 (t1 -1 )2

n

S (t -1 )2

K+L ± taSy

t =1

1

(4.3)

Обозначим корень в выражении (4.3) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К* = taK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(4.4)

1+

+ S11 (2S12)t, S t2 nS 11 (S t2)2

Выражение, аналогичное (4.3), можно получить для полинома второго порядка:

2 12 + nt14

Я+L ± taSy

1

(4.5)

или

l ± SyK *

(4.6)

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

S2

S (yt &)2

t=i

n к

(4.7)

где

yt — фактические значения уровней ряда; € — расчетные значения уровней ряда; n — длина временного ряда;

к — число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием показательной модели, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 4.1. приведены значения K* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для линейной модели и параболической модели тренда. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.