4.2. проверка адекватности выбранных моделей

4.2. проверка адекватности выбранных моделей

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе остаточной компоненты. Остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду).

Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда, содержащей трендовую и случайную компоненты.

Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических уровней временного ряда (yt) от расчетных ( У):

et = yt У (4.8)

При использовании кривых роста У вычисляют, подставляя в уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если остаточная последовательность (ряд остатков) представляет собой случайную компоненту ряда.

Поэтому при оценке «качества» модели проверяют, удовлетворяет ли остаточная последовательность следующим свойствам:

случайности колебаний уровней ряда;

соответствию распределения остаточной компоненты нормальному закону с нулевым математическим ожиданием;

независимости значений уровней ряда остатков между собой.

При проверке первого свойства исследователю полезно провести графический анализ остаточной последовательности, а также на этом этапе может быть использован статистический аппарат, обсуждаемый в параграфе 1.3.

В современных эконометрических пакетах имеется набор графических средств, позволяющих судить о том, насколько распределение остатков согласуется с нормальным распределением. Например, полезным может оказаться график гистограммы остатков с наложенной нормальной плотностью, позволяющей исследователю оценить симметричность распределения остатков и близость к нормальному закону.

Кроме графических средств, в современных пакетах прикладных программ представлены и статистические критерии, позволяющие проводить проверку гипотезы о нормальности распределения остатков, например, критерий Пирсона и др. Однако на практике использование этих средств зачастую затруднено из-за небольшой длины временных рядов экономических показателей (n < 50). Поэтому проверка на нормальность может быть произведена приближенно, например, на основе подхода, опирающегося на рассмотрение показателей асимметрии и эксцесса.

Как известно, при нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные харак

теристики асимметрии (4) и эксцесса (Э), а также оценить их среднеквадратические ошибки, зависящие от длины ряда n:

1

S e;

v n t=1

3

(4.9)

3

2

S<

1

t=1

f

S e;

v n t=1

(n +1) • (n + 3) ; 24 • n • (n 2)(n 3)

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

6 • (n 2)

Э + ■

< 1,5 •

4 < 1,5 •

n +1

6

(n +1)2 • (n + 3) • (n + 5)

(4.10)

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается. Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

6 • (n 2)

(4.11)

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Рассмотрим подробнее последнее свойство. Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция остатков.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является подход, опирающийся на критерий Дарбина-Уотсона. Тест Дарби-на-Уотсона связан с проверкой гипотезы об отсутствии автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. При этом критическая статистика определяется по формуле:

d

S (etet -1 )2

t=2

n

S ї

t=1

(4.12)

Можно показать, что величина d приближенно равна:

d 2(1 /1) , (4.13)

где

r1 — коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя последовательностями остатков e1, e2, ... ,en-1 и e2, e3, ... , en).

Из (4.13) видно, что близость значения статистики d к нулю означает наличие высокой положительной автокорреляции (коэффициент /1 близок к единице); близость значения статистики d к четырем означает наличие высокой отрицательной автокорреляции (коэффициент r1 близок к минус единице). Естественно, в случае отсутствия автокорреляции значение статистики d будет близким к двум (коэффициент /1 не сильно отличается от нуля).

Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении расчетного значения статистики d с пороговыми, граничными значениями d1 и d2 .

Граничные значения d1 и d2, зависящие от числа наблюдений n, количества объясняющих переменных в модели, уровня значимости а, находятся по таблицам (авторами критерия составлены таблицы для а= U,U5, а= U,U25 и а= U,U1). Фрагмент таблицы Дарбина-Уотсона с критическими значениями d1 и d2 при 5\% уровне значимости представлен ниже (см. табл. 4.2).

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий.

Выдвигается гипотеза HU об отсутствии автокорреляции остатков. Пусть альтернативная гипотеза состоит в наличии в остатках положительной автокорреляции первого порядка.

Тогда при сравнении расчетного значения статистики d ( d < 2) с d 1 и d2 возможны следующие варианты.

Если d < d1, то гипотеза H U об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной а ) в пользу гипотезы о положительной автокорреляции.

Если d > d2, то гипотеза HU не отвергается.

Если d1 < d < d2, то нельзя сделать определенный вывод по имеющимся исходным данным (значение d попало в область неопределенности).

Если альтернативной является гипотеза о наличии в остатках отрицательной автокорреляции первого порядка, то с пороговыми, граничными значениями d1 и d2 сравнивается величина 4 d (при d >2).

При этом возможны следующие варианты.

Если 4 d < d1, то гипотеза H U об отсутствии автокорреляции отвергается (с вероятностью ошибки, равной ) в пользу гипотезы об отрицательной автокорреляции.

Если 4 d > d2, то гипотеза H U не отвергается.

Если d1 < 4 d < d2, то нельзя сделать определенный вывод по имеющимся исходным данным.

Таблица 4.2

Значения di и d2 критерия Дарбина-Уотсона при 5\% уровне значимости (n — длина временного ряда, к' — число объясняющих переменных в модели)

Данный критерий нельзя использовать, если среди объясняющих переменных содержатся лагированные значения результативного показателя (например, он не применим к моделям авторегрессии).

Таким образом, можно считать, что в случае отсутствия автокорреляции в остатках расчетное значение статистики (4.12) «не слишком отличается» от 2.