Глава 5. использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях 5.1. сущность адаптивных методов

Глава 5. использование адаптивных методов прогнозирования в экономических исследованиях 5.1. сущность адаптивных методов

В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считается применение адаптивных методов.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т. к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических данных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т. к. при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Важнейшим достоинством адаптивных методов является построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Пусть модель находится в некотором состоянии, для которого определены текущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз. При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значением и полученным по модели). Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одного состояния в другое. В результате вырабатываются «компенсирующие» изменения, состоящие в корректировании параметров с целью большего согласования поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь.

Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой новой фактической точки ряда. Модель постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент. На рисунке приведена общая схема построения адаптивных моделей прогнозирования.

Скорость (быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб.

В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно принимают критерий минимума среднего квадрата ошибок прогнозирования.

На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов прогнозирования, объединенных общим названием «адаптивные».

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико-математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда.

Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании на один или на несколько шагов вперед).

Указанное определение отражает основные характерные черты, присущие рассматриваемому подходу. В то же время деление на адаптивные и неадаптивные модели часто носит достаточно условный характер.

Обозначения:

y(t) — фактические уровни временного ряда;

yT(t) — прогноз, сделанный в момент t на т единиц времени (шагов) вперед;

et+1 — ошибка прогноза, полученная как разница между фактическим и прогнозным значением показателя в точке (t + 1).

5.2. Экспоненциальное сглаживание

Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

где

a1 = сonst;

et — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2.

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула

St = ayt + pSt-1 , (5.1)

где

St — значение экспоненциальной средней в момент t; a — параметр сглаживания, a = ^nst, 0 < a < 1; в = 1 a.

Если последовательно использовать соотношение (5.1), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда.

При П — оо

St =aSв • y(5.2)

i=0

Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Именно поэтому величина St названа экспоненциальной средней.

Например, пусть a = 0,3. Тогда вес текущего наблюдения yt будет равен a = 0,3, вес предыдущего уровня yt-1 будет соответствовать a х в = 0,3 х 0,7 = 0,21; для уровня yt-2 вес составит a х в2 = 0,147; для yt-3 a х в3 = 0,1029 и т.д.

Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания временного ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда (о2):

D[St ] = -^a2 (5.3) 2-a

Из (5.3) видно, что при высоком значении a дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением a дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением a (согласно (5.2.)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину a нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания a составляет задачу оптимизации модели.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение a, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Например, при построении этих моделей с помощью пакета «Мезозавр» в меню предусмотрена ветвь «оптимизация», реализующая поиск значения по этой схеме.

При расчете экспоненциальной средней в момент времени t всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должно быть определено некоторое значение S0 , предшествующее Sj. Часто на практике в качестве начального значения So используется среднее арифметическое значение из всех имеющихся уровней временного ряда или из какой-то их части. Вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора S0 погашается.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

yt = au + et,

где

a1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда;

et — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о2.

Прогнозная модель определяется равенством:

яо) = a1,t,

где

yT (t) — прогноз, сделанный в момент t на т единиц времени (шагов) вперед; a1,t — оценка a1,t .

Единственный параметр модели a11 определяется экспоненциальной средней:

a1,t = St;

a1,0 = S0.

Выражение (5.1.) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

St = St-1 + a (yt St-1) (5.4)

Величину (yt St-1) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St-1.

5.3. Адаптивные полиномиальные модели

Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков. Выравнивание p-го порядка:

S(p) =a StP-1) +в Stp1 (5.5)

является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р 1)-го порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на т шагов вперед осуществляется по формуле:

Удо = 4 + 02т + 2 a +... + 1 ^ хт , (5.6)

2 n!

где

a, a€2,....a€n+1 — оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р. Майером, говорит о том, что (n + 1) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка 0€1,02,....4^ могут быть оценены с помощью

линейных комбинаций экспоненциальных средних S(l', где i = 1 n + 1.

Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до n + 1, а затем через их линейные комбинации — к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка.

В табл. 5.1 приведены формулы, необходимые для расчета по этим моделям.

Процедура прогнозирования временных рядов на основе адаптивных полиномиальных моделей состоит из следующих этапов.

Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра сглаживания . При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод последовательных разностей и др.

Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели первого порядка необходимо определить ai 0; 02 0.

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних.

Находятся оценки коэффициентов модели.

Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех t < n , где n — длина ряда.

Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t = n. Прогноз получается на базе выражения (5.6) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения т .

К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания S(l' и продолжить вычисления.