5.4. адаптивные модели сезонных явлений

5.4. адаптивные модели сезонных явлений

Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. Как было показано ранее, в зависимости от характера этих колебаний их часто делят на два класса: мультипликативные и аддитивные.

При мультипликативных сезонных колебаниях предполагается, что амплитуда колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда (текущему среднему уровню ряда).

При аддитивном характере сезонности исходят из предположения о неизменности во времени, примерном постоянстве амплитуды периодических колебаний, ее независимости от уровня тренда. При этом для аддитивных колебаний характеристики сезонности будут измеряться в абсолютных величинах и отражаться в статистической модели в виде слагаемых, а для мультипликативных колебаний — в относительных величинах и представляться в моделях в виде сомножителей.

Таким образом, экономические временные ряды, содержащие периодические сезонные колебания, могут быть описаны моделями как с аддитивным характером сезонности (5.7), так и с мультипликативным (5.8):

yt = au ■ ft + £t ; (5.7) yt = a1,t + gt +et, (5.8)

где

а11 — характеристика тенденции развития; gt,gt-1,...,gt-e+1 — аддитивный сезонный фактор; ft,ft-1,...,ft-M — мультипликативный сезонный фактор;

і — число фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений і = 12, для квартальных — і = 4);

є t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса.

В качестве примера рассмотрим модель с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметри-ческой модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на т шагов вперед определяется выражением:

yT(t) = (a1,t +Т a2,t)ft-і+т • (5.9)

Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

аіт =а1^ + (1 а1 Wit-1 + a2,t-1 )

ftf =а2 a+ (1 -a2)ft-і (5.10)

a1,t

a2,t = а3 (а аи-1) + (1 а3 )_?2,t-1 0 <а,а2,а3, < 1

Из (5.10.) видно, что а11 является взвешенной суммой текущей оценки ~yL-, полуft -l

ченной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных yt, и суммы предыдущих оценок а1л-1 + a2,t-1. В качестве коэффициента сезонности ft берется его наиболее

поздняя оценка, полученная для аналогичной фазы цикла ( ft-i).

Затем величина a1,t , полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Оценки a2,t модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию.

Оптимальные значения для a1,a2,a3 П. Уинтерс предлагал находить экспериментальным путем, перебирая возможные комбинации этих параметров на сетке значений. Критерием сравнения при этом выступает величина среднеквадратической ошибки.

Примером другого подхода — с аддитивной сезонностью — может служить модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенная Г.Тейлом и С.Вейджем.

Практическая значимость этой модели объясняется не только тем, что в экономических временных рядах довольно часто можно встретить этот тип динамики развития. Опыт проведения экспериментальных расчетов свидетельствует о том, что динамика многих экономических показателей может быть описана с помощью модели, сочетающей в себе экспоненциальную тенденцию с мультипликативным сезонным эффектом. Прологарифмировав исходный временной ряд, на практике часто преобразуют экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативный сезонный эффект в аддитивный. Таким образом, динамику преобразованного показателя можно моделировать и прогнозировать с помощью модели Г. Тейла и С.Вейджа.

Рассмотрим подробнее адаптивную тренд-сезонную модель, сочетающую линейный рост с аддитивной сезонностью.

Прогноз по этой модели на т шагов вперед определяется выражением:

УT(t) = a1,t + а2,t + gt-l+т (511) Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

a1,t = a1 (y gt-l ) + (1 a1 )(aU-1 + a2,t-1 )

(5.12)

gt =a2( yt-a,t) +(1 -a2) gt -l

a2,t = a3 (a1,t a1,t-1 ) + (1 a3 )a2,t-1

0 < a1,a2,a3, < 1

Прогнозные оценки на основе формул (5.9.) и (5.11) получаются экстраполяцией тенденции линейного роста на основе последних значений коэффициентов a1t и a2t, а

также добавлением (в виде сомножителя или слагаемого) самой свежей оценки сезонного эффекта для этой фазы цикла ( ft-l+T или gt-i+T) . Это справедливо для случая, когда время упреждения удовлетворяет условию: 0<т<l. Очевидно, что для l <т< 2• l самой последней оценкой сезонного эффекта будут значения ft-2l+T или gt-2l+T и т.д.

Таким образом, в двух рассмотренных моделях прогнозные оценки являются функцией прошлых и текущих уровней временного ряда, параметров адаптации a1,a2,a3, а

также начальных значений как коэффициентов a10, a2 0 так и сезонного фактора для каждой фазы цикла.

В качестве а1 0, а20 на практике берут МНК-оценки коэффициентов линейного тренда yt = а1 + а2 ■ t, определенные по исходному временному ряду или его части. Начальные значения сезонного фактора для аддитивной модели определяют усреднением отклонений фактических уровней от расчетных (yt) для каждой фазы цикла (например, для одноименных месяцев, кварталов). Для мультипликативной модели усреднением частного от деления фактических уровней на расчетные ( yt) для каждой фазы цикла.

Отметим, что по аналогичной схеме строятся модели с экспоненциальным и демпфирующим трендом в сочетании с сезонными эффектами обоих типов.

Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных статистических пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования.

Пример 5.1.

Рассчитайте экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM [12]. В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмите среднее значение из 5 первых уровней ряда. Расчеты проведите для двух различных значений параметров адаптации а:

а) а = 0,1;

б) а = 0,5.

Сравните графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а = 0,1 и а = 0,5. Укажите, какой ряд носит более гладкий характер:

Таблица 5.2.

Курс акций фирмы IBM, долл. США

Решение

Определим S0 = 2 yt = (510 + 497 + 504 + 510 + 509) = 506

5 t=1 5

Найдем значения экспоненциальной средней при а = 0,1. St = аyt + (1 а)^. а = 0,1 — по условию;

= аyl + (1 а^; S1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

= oy2 + (1 а)^; S2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

= oy3 + (1 а^; S3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д. Результаты расчетов представлены в таблице 5.3.

Проведем аналогичные расчеты для а = 0,5.

= аyl + (1 а^; S1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

= oy2 + (1 а^ь S2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д. Результаты расчетов представлены в таблице 5.3.

На рис. 5.2 наглядно представлено влияние значения параметра адаптации а на характер сглаженного ряда.

При а = 0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т. к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

т- тгt

Рис. 5.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А — фактические данные; В — экспоненциальная средняя при а=0,1; С — экспоненциальная средняя при а=0,5

Выводы

Статистические методы все шире проникают в экономическую практику. С развитием компьютеров, распространением пакетов прикладных программ эти методы вышли за стены учебных и научно — исследовательских институтов. Они стали важным инструментом в деятельности аналитических, плановых, маркетинговых отделов различных фирм и предприятий.

При прогнозировании часто исходят из того, что уровни временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты: тренд, сезонную, циклическую и случайную составляющие. В зависимости от способа сочетания этих компонент модели временных рядов делятся на аддитивные, мультипликативные или модели смешанного типа.

Обобщенными показателями динамики развития экономических процессов являются средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. При выполнении ряда предпосылок эти показатели могут быть использованы в приближенных, простейших способах прогнозирования, предшествующих более глубокому количественному и качественному анализу.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является выравнивание временных рядов, в частности, с помощью скользящих средних. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса.

Выравнивание временных рядов может осуществляться с помощью тех или иных функций времени — кривых роста. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении тенденции как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде.

Прогнозные значения по выбранной кривой роста вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным. В дополнении к точечному прогнозу желательно задать диапазон возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный (определить доверительный интервал). Доверительный интервал учитывает неопределенность, связанную с положением тренда (погрешность оценивания параметров кривой), и возможность отклонения от этого тренда.

Для того, чтобы обоснованно судить о качестве полученной модели необходимо проверить адекватность этой модели реальному процессу и проанализировать характеристики ее точности. Проверка адекватности строится на анализе остаточной последовательности и базируется на использовании ряда статистических критериев. Показатели точности описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Все характеристики точности могут быть вычислены после того, как период упреждения уже закончился, или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

Одно из перспективных направлений развития краткосрочного прогнозирования связано с адаптивными методами. Эти методы позволяют строить самокорректирующиеся модели, способные оперативно реагировать на изменение условий. Адаптивные методы учитывают различную информационную ценность уровней ряда, "старение» информации. Все это делает эффективным их применение для прогнозирования неустойчивых рядов с изменяющейся тенденцией.

В заключение отметим, что не может быть чисто формальных подходов к выбору методов и моделей прогнозирования. Успешное применение статистических методов прогнозирования на практике возможно лишь при сочетании знаний в области самих методов с глубоким знанием объекта исследования, с содержательным экономическим анализом.

Практикум