1.3. компоненты временных рядов

1.3. компоненты временных рядов

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов экономических показателей могут содержать следующие компоненты (составные части или структурно-образующие элементы):

тренд;

сезонную компоненту;

циклическую компоненту;

случайную составляющую.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Примером могут служить колебания цен на сельскохозяйственную продукцию, в частности на картофель. Из года в год наблюдается снижение цен в период после уборки урожая и последующее повышение цен, связанное с необходимостью хранения продукции. Своего "пика» цены достигают перед следующим урожаем. Таким образом, в колебаниях цен прослеживается устойчивая годовая периодичность.

Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т. д.

При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

факторы резкого, внезапного действия;

текущие факторы.

Факторы первого вида (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывают более значительные отклонения. Иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго вида вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в виде произведения — мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3):

yt = ut + st + vt + £t;

yt = ut ■ st ■ vt-£t; (1.2)

yt = ut ■ st ■ vt +£t, (1.3X

где

yt — уровни временного ряда;

u

s

v

трендовая составляющая; сезонная компонента; циклическая компонента; случайная компонента.

На рис. 1.3 приведены примеры временных рядов, иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно снижаются.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Иногда на стадии графического анализа можно определить характер сезонных колебаний: аддитивный или мультипликативный. Отличительной особенностью аддитивной модели является то, что амплитуда сезонных колебаний, отражающая отклонения от тренда или среднего, остается примерно постоянной, неизменной во времени.

В качестве примера рассмотрим временной ряд производства электроэнергии в России с 1994 по 1999 гг. (рис.1.4.).

На основании этого графика можно предположить, что тенденция ряда в исследуемом периоде была близка к линейному развитию, а амплитуда внутригодовых колебаний примерно постоянна. На рис. 1.4. видны устойчивые сезонные колебания, имеющие годовую периодичность: очевидны повторяющиеся подъемы производства в зимне-осенний период, спады — в весенне-летний период. Амплитуду периодических колебаний можно считать практически неизменной, не зависящей от уровня тренда, что приводит к выводу об аддитивном характере сезонности.

Таким образом, на стадии проведения графического анализа можно исследовать компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики и последующего прогнозирования.

Если присутствие тренда во временном ряду прослеживается нечетко, то прежде чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Рис. 1.4. Месячная динамика производства электроэнергии в Российской Федерации за период с 1994 по 1999 гг. (млн. кВт. ч )

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Среди наиболее часто используемых на практике подходов для проверки «наличия — отсутствия» тренда следует отметить метод Фостера-Стюарта.

Этот метод может быть реализован в виде следующей последовательности шагов.

Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик mt и /t:

J1, если Уt > yt-1, yt-2, ... , y1

[0, в противном случае

Таким образом, mt = 1, если yt больше всех предшествующих уровней. В свою очередь 1t = 1, если yt меньше всех предшествующих уровней.

Вычисляется dt = mt — lt для всех t = 2 n.

Очевидно, что величина dt может принимать значения 0; 1; -1.

n

Находится характеристика D = ^ dt.

t=2

С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D 0 (т. е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд).

Для этого определяется

^ набл

D

0D

где

Od -

средняя квадратическая ошибка величины D:

n І

2^~42In n 0,8456

t=2 t

Расчетное значение ґнабл сравнивается с критическим значением ґкр, взятым из таблицы t — распределения Стьюдента для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы v = n 1. Если І ^абл | > tq,, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Также в литературе кроме рассмотренного подхода описаны и другие критерии, отличающиеся друг от друга мощностью, сложностью математического аппарата, например, критерий квадратов последовательных разностей (критерий Аббе), метод проверки разностей средних уровней, критерий серий, имеющий две модификации: критерий серий, основанный на медиане выборки, и критерий «восходящих и нисходящих» серий и др.

[3,4,23].

1.4. Основные показатели динамики экономических явлений

На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяются следующие основные аналитические показатели:

абсолютные приросты;

темпы роста;

темпы прироста.

Причем каждый из указанных показателей может быть трех видов:

цепной;

базисный;

средний.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. В качестве базы сравнения выбирается либо начальный уровень динамического ряда, либо уровень, с которого начинается новый этап развития. Например, при анализе динамики развития российской промышленности часто за базу сравнения выбирают 1990 год. Это объясняется тем, что до этого года во многих отраслях промышленности наблюдался замедлявшийся подъем, перешедший затем в спад производства. Поэтому начавшийся в посткризисный период подъем производства желательно оценивать не только по отношению к предыдущему году, но и в сравнении с 1990 г.

Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост Ау равен разности двух сравниваемых уровней. Темп роста Т характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в \% темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

В таблице 1.8 приведены выражения для вычисления базисных и цепных абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста. При этом использованы следующие обозначения:

У1, y2,..., yt,..., yn — уровни временного ряда, t = 1, 2, ... , n; n — длина временного ряда;

уб — уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста. Эти обобщающие характеристики динамики представляют наибольший интерес для статистического анализа. С их помощью можно строить прогнозы исследуемых показателей. Однако необходимо отметить, что их применение требует определенной осторожности.

Описание динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на L шагов вперед (L — период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой:

yn+L = yn + LAy , (1.4)

где

yn — фактическое значение в последней n-ой точке ряда (конечный уровень ряда); yn+L — прогнозное значение (n + L)-ro уровня ряда;

Ay — значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для временного ряда

Очевидно, что такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Основные показатели динамики

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на L шагов вперед может быть получено по формуле:

У+l = Уп ■ Т (1.5)

где

yn — фактическое значение в последней n-ой точке ряда (конечный уровень ряда); yn+L — прогнозное значение (n + L)-ro уровня ряда;

Т — значение среднего темпа роста, рассчитанное для временного ряда У1, У2,..., yt,..., Уп (не в \%-ном выражении).

К недостаткам среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста (среднего темпа прироста) следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияния промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют весьма широкую область применения, что объясняется чрезвычайной простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.